Συζυγής ανάστροφος πίνακας
Στην γραμμική άλγεβρα , συζυγής ανάστροφος πίνακας (ή αλλιώς Ερμιτιανός συζυγής πίνακας ) ενός μιγαδικού πίνακα είναι ο ανάστροφος πίνακας του συζυγούς του. Πιο συγκεκριμένα, για τον πίνακα
A
{\displaystyle A}
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
A
H
{\displaystyle A^{H}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
(
A
H
)
i
j
=
A
¯
j
i
{\displaystyle (A^{H})_{ij}={\overline {A}_{ji}
για κάθε
1
≤
i
≤
m
{\displaystyle 1\leq i\leq m}
1
≤
j
≤
n
{\displaystyle 1\leq j\leq n}
[ 1] :192 [ 2] :6 [ 3] :8 Επομένως,
A
H
=
(
A
¯
)
T
=
[
A
¯
11
A
¯
12
…
A
¯
1
n
A
¯
21
A
¯
22
…
A
¯
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
A
¯
m
1
A
¯
m
2
…
A
¯
m
n
]
.
{\displaystyle A^{H}=({\overline {A})^{T}={\begin{bmatrix}{\overline {A}_{11}&{\overline {A}_{12}&\ldots &{\overline {A}_{1n}\\{\overline {A}_{21}&{\overline {A}_{22}&\ldots &{\overline {A}_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\overline {A}_{m1}&{\overline {A}_{m2}&\ldots &{\overline {A}_{mn}\end{bmatrix}.}
Για παράδειγμα, ο συζυγής του
A
=
[
(
3
+
2
i
)
5
(
1
−
4
i
)
(
7
+
2
i
)
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}(3+2i)&5\\(1-4i)&(7+2i)\end{bmatrix}
A
H
=
[
(
3
−
2
i
)
(
1
+
4
i
)
5
(
7
−
2
i
)
]
{\displaystyle A^{H}={\begin{bmatrix}(3-2i)&(1+4i)\\5&(7-2i)\end{bmatrix}
Ο συζυγής ανάστροφος συμβολίζεται και ως
A
∗
{\displaystyle A^{*}
A
†
{\displaystyle A^{\dagger }
Σαρλ Ερμίτ .[ 4] :473
Παρακάτω δίνονται μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα μιγαδικών πινάκων και ο συζυγής ανάστροφός τους:
A
=
[
(
3
+
2
i
)
(
7
−
3
i
)
5
i
(
9
−
2
i
)
10
(
6
−
5
i
)
]
A
H
=
[
(
3
−
2
i
)
(
9
+
2
i
)
(
7
+
3
i
)
10
−
5
i
(
6
+
5
i
)
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}(3+2i)&(7-3i)&5i\\(9-2i)&10&(6-5i)\end{bmatrix}\qquad A^{H}={\begin{bmatrix}(3-2i)&(9+2i)\\(7+3i)&10\\-5i&(6+5i)\end{bmatrix}
B
=
[
(
−
5
+
2
i
)
(
3
−
4
i
)
(
4
−
8
i
)
(
5
+
3
i
)
(
1
+
3
i
)
(
7
−
2
i
)
]
B
H
=
[
(
−
5
−
2
i
)
(
4
+
8
i
)
(
1
−
3
i
)
(
3
+
4
i
)
(
5
−
3
i
)
(
7
+
2
i
)
]
{\displaystyle B={\begin{bmatrix}(-5+2i)&(3-4i)\\(4-8i)&(5+3i)\\(1+3i)&(7-2i)\end{bmatrix}\qquad B^{H}={\begin{bmatrix}(-5-2i)&(4+8i)&(1-3i)\\(3+4i)&(5-3i)&(7+2i)\end{bmatrix}
C
=
[
(
−
5
+
7
i
)
(
8
+
2
i
)
(
1
−
i
)
]
C
H
=
[
(
−
5
−
7
i
)
(
8
−
2
i
)
(
1
+
i
)
]
{\displaystyle C={\begin{bmatrix}(-5+7i)&(8+2i)&(1-i)\end{bmatrix}\qquad C^{H}={\begin{bmatrix}(-5-7i)\\(8-2i)\\(1+i)\end{bmatrix}
Για οποιονδήποτε πραγματικό πίνακα
A
{\displaystyle A}
A
H
=
A
T
{\displaystyle A^{H}=A^{T}
Για οποιονδήποτε φανταστικό πίνακα
A
{\displaystyle A}
A
H
=
−
A
T
{\displaystyle A^{H}=-A^{T}
A
=
[
3
i
−
6
i
7
i
4
i
]
A
H
=
[
−
3
i
−
7
i
6
i
−
4
i
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}3i&-6i\\7i&4i\end{bmatrix}\qquad A^{H}={\begin{bmatrix}-3i&-7i\\6i&-4i\end{bmatrix}
Συνδυάζοντας τις ιδιότητες του ανάστροφου πίνακα και τις ιδιότητες του συζυγούς πίνακα , έχουμε τις εξής ιδιότητες:
Ο συζυγής ανάστροφος του συζυγούς ανάστροφου είναι ο αρχικός πίνακας,
(
A
H
)
H
=
A
{\displaystyle (A^{H})^{H}=A}
[ 1] : 195 [ 5] :3
Για τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό ενός μιγαδικού πίνακα
A
{\displaystyle A}
c
∈
C
{\displaystyle c\in \mathbb {C} }
(
c
A
)
H
=
c
¯
A
H
{\displaystyle (cA)^{H}={\overline {c}A^{H}
[ 1] : 195 [ 5] : 3
Ο συζυγής ανάστροφος του άθροισμα δύο πινάκων
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
(
A
+
B
)
H
=
A
H
+
B
H
{\displaystyle (A+B)^{H}=A^{H}+B^{H}
[ 1] : 195 [ 2] : 11
Ο συζυγής ανάστροφος του γινομένου δύο πινάκων
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
(
A
B
)
H
=
B
H
A
H
{\displaystyle (AB)^{H}=B^{H}A^{H}
[ 1] : 195 [ 2] : 11 [ 5] : 3
Το ίχνος του συζυγούς ανάστροφου ενός τετραγωνικού πίνακα είναι
tr
(
A
H
)
=
tr
(
A
)
¯
{\displaystyle \operatorname {tr} (A^{H})={\overline {\operatorname {tr} (A)}
Ο συζυγής ανάστροφος του αντίστροφου είναι ο αντίστροφος του συζυγούς ανάστροφου,
(
A
−
1
)
H
=
(
A
H
)
−
1
{\displaystyle (A^{-1})^{H}=(A^{H})^{-1}
Η ορίζουσα του συζυγή πίνακα είναι ο συζυγής της ορίζουσας, δηλαδή
det
(
A
H
)
=
det
(
A
)
¯
{\displaystyle \operatorname {det} (A^{H})={\overline {\operatorname {det} (A)}
[ 6] :205
↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Μπράτσος, Α. (2015). Μαθήματα ανωτέρων μαθηματικών ISBN 978-960-603-030-7 . ↑ 2,0 2,1 2,2 Μπούταλης, Ι. (2022). «Στοιχεία από την Θεωρία Πινάκων» (PDF) . Δημοκριτειο Πανεπιστήμειο Θράκης. Ανακτήθηκε στις 25 Αυγούστου 2022 . ↑ Πολύζος, Σ.· Τσιώτας, Δ. «Σημειώσεις μαθηματικών» (PDF) . Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περ. Ανάπτυξης. Ανακτήθηκε στις 25 Αυγούστου 2022 . ↑ Κολαϊτη, Μεμας (1976). Αγγλοελληνικόν λεξικόν των θεωρητικών και εφημορσμένων μαθηματικών ↑ 5,0 5,1 5,2 Μπεληγιάννης, Α. (2020). «Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ: Ασκήσεις - Φυλλάδιο 9» (PDF) . Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Ανακτήθηκε στις 26 Αυγούστου 2022 . ↑ Körner, T. W. (2012). Vectors, pure and applied : a general introduction to linear algebra ISBN 9781139520034 .
The article is a derivative under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License .
A link to the original article can be found here and attribution parties here
By using this site, you agree to the Terms of Use . Gpedia ® is a registered trademark of the Cyberajah Pty Ltd
