Ермітово-спряжена матриця

Матриця, ермітово-спря́жена до матриці A з комплексними елементами, отримується в результаті транспонування матриці A і заміни кожного її елемента на комплексно-спряжений.

${\displaystyle (A^{*})_{i,j}={\overline {A_{j,i}$

Визначення також може бути записане так:

${\displaystyle A^{*}=({\overline {A})^{T}={\overline {A^{T}$

де

${\displaystyle A^{T}\!}$ — транспонування,

${\displaystyle {\overline {A}$ — заміна елементів матриці на комплексно-спряжені.

Ермітове спряження матриці A позначається:

• ${\displaystyle \ A^{*}$ чи ${\displaystyle \ A^{H}$ — в лінійній алгебрі,
• ${\displaystyle \ A^{\dagger }$ — в теоретичній фізиці,

Якщо

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3+i&5\\2-2i&i\end{pmatrix}$

тоді

${\displaystyle A^{*}={\begin{pmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\end{pmatrix}$

• ${\displaystyle \ ({A^{*})^{*}=A}$
• ${\displaystyle \ (rA)^{*}={\overline {r}{A}^{*}$
• ${\displaystyle \ {(A+B)}^{*}={A}^{*}+{B}^{*}$
• ${\displaystyle \ {(AB)}^{*}={B}^{*}{A}^{*}$
• ${\displaystyle \ ({A^{*})^{-1}=({A^{-1})^{*}$
• ${\displaystyle \ \det {(A^{*})}=(\det {A})^{*}$
• ${\displaystyle \ \operatorname {tr} {(A^{*})}=(\operatorname {tr} {A})^{*}$
• визначник, слід та власні значення ${\displaystyle \ A^{*}$ комплексно-спряжені до відповідних значень ${\displaystyle \ A}$.
• Для довільної матриці ${\displaystyle \ A,}$ матриці ${\displaystyle AA^{*}$ та ${\displaystyle A^{*}A}$ будуть ермітовими та невід’ємноозначеними.

Операція ермітового-спряження для матриць є узагальненням спряження для комплексних чисел.

Якщо представити комплексне число у вигляді матриці 2×2 так:

${\displaystyle a+ib\equiv {\Big (}{\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}{\Big )}$,

то операції додавання і множення для комплексних чисел і таких матриць будуть давати однаковий результат.

• Теорія матриць
• Ермітова матриця

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)