در جبر خطی، زیرمجموعهای از بردارهای یک فضای برداری مانند را وابستهٔ خطی گویند هر گاه یکی از بردارها در اسپن بقیه بردارها موجود باشد . به عبارتی دیگر (طبق تعریف اسپن) یکی از بردارها را بتوان به صورت ترکیب خطی بردارهای دیگر بیان کرد .[۱]
اگر وابستهٔ خطی نباشد میگوییم این بردارها استقلال خطی (به انگلیسی: Linear Independence) دارند یا مستقل خطی هستند.
تعریف
مجموعهٔ را مستقل خطی مینامیم اگر تنها جواب معادلهٔ جواب بدیهی باشد.[۲]
در غیر این صورت به این مجموعه وابسته خطی میگوییم.[۳] به عبارتی دیگر اگر معادلهٔ یک جواب غیربدیهی داشته باشد وابسته خطی است. در این صورت به معادلهٔ مذکور رابطهٔ وابستگی خطی میگوییم.[۲] از این رابطه میتوان هر بردار را بر حسب بردارهای دیگر به دست آورد:
از این رابطه نتیجه میگیریم یکی از بردارها در اسپن بقیه بردارها وجود دارد: یا
نتایج و قضایا
یک مجموعهٔ یکعضوی بردار را مستقل خطی میگوییم اگر و تنها اگر ناصفر باشد .
یک مجموعهٔ دوعضوی بردارها را مستقل خطی میگوییم اگر و تنها اگر مضرب یکدیگر نباشند .
هر مجموعهای شامل بردار صفر وابستهٔ خطی است.
مجموعهٔ بردارهای با بیش از یک عضو وابستهٔ خطی است اگر و تنها اگر اندیسی مانند وجود داشته باشد که بردار با آن اندیس را بتوان به صورت ترکیب خطی از بردارهای با اندیس قبل از آن بیان کرد .[۲]
برای توابع
طبق تعریف مذکور اگر فضای برداری را مجموعهٔ تمام توابع فرض کنیم به تعریف استقلال خطی توابع میرسیم:
اگر بتوان مجموعهٔ ضرایبی مانند برای مجموعهٔ توابع پیدا کرد که باشد (در یک دامنهٔ مشترک و پیوسته از آنها) در آن صورت مجموعهٔ توابع مستقل خطینیستند. در غیر این صورت را مستقل خطی مینامیم.[۴]
استفاده از یک قضیه
اگر توابع (در یک دامنهٔ مشترک و پیوسته از آنها) همگی دارای مشتق تا مرتبهٔ اُم باشند و همچنین اگر رونسکین این توابع باشد، این قضیه بیان میکند که:
توابع مستقل خطی اند اگر و تنها اگر بتوان یک پیدا کرد که .[۴][۵]