عمل جبری که از دو دنباله با طول برابر، عدد معینی را بر می گرداند
«ضرب داخلی» به اینجا تغییرمسیر دارد. برای ضرب اسکالر مجرد،
فضای ضرب داخلی را ببینید. برای ضرب یک اسکالر در یک بردار،
ضرب نرده‌ای را ببینید.
در هندسهٔ تحلیلی ، ضرب داخلی (به انگلیسی : Inner Product ضرب اسکالر (به انگلیسی : scalar product عمل دوتایی بین دو بردار اقلیدسی است که نتیجهٔ آن یک عدد حقیقی است. به عبارتی دیگر، نتیجهٔ ضرب داخلیِ دو کمیت برداری ، یک کمیت اسکالر است.
ضرب داخلی با نماد نقطه در وسط «· » نمایش داده می‌شود که با نقطه «.» تفاوت دارد، ازاین‌رو در انگلیسی به آن ضرب نقطه‌ای (به انگلیسی : dot product [ ۱]
ضرب داخلی دو بردار
a
→
=
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle {\vec {a}=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{\mathrm {n} })}
b
→
=
(
b
1
,
b
2
,
…
,
b
n
)
{\displaystyle {\vec {b}=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{\mathrm {n} })}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathrm {n} }
[ ۲]
a
→
⋅
b
→
=
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
⋯
+
a
n
b
n
{\displaystyle {\vec {a}\cdot {\vec {b}=\sum _{i=1}^{\mathrm {n} }a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\dots +a_{\mathrm {n} }b_{\mathrm {n} }
(
1
,
3
,
−
5
)
⋅
(
4
,
−
2
,
−
1
)
=
1
×
4
+
3
×
−
2
+
−
5
×
−
1
=
4
−
6
+
5
=
3
{\displaystyle {\begin{aligned}(1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)&=1\times 4+3\times -2+-5\times -1\\&=4\qquad -6\qquad \ +5\\&=3\end{aligned}
اگر بردارها را ماتریس سطری فرض کنیم ضرب داخلی را می‌توان از رابطهٔ زیر نیز محاسبه کرد (
b
T
{\displaystyle b^{\mathsf {T}
ماتریس ترانهادهٔ
b
{\displaystyle b}
a
→
⋅
b
→
=
a
b
T
{\displaystyle {\vec {a}\cdot {\vec {b}=ab^{\mathsf {T}
[
1
3
−
5
]
[
4
−
2
−
1
]
=
3
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}=3}
اگر
θ
{\displaystyle \theta }
[ ۳]
a
→
⋅
b
→
=
|
a
→
|
|
b
→
|
cos
θ
{\displaystyle {\vec {a}\cdot {\vec {b}=\left\vert {\vec {a}\right\vert \left\vert {\vec {b}\right\vert \cos \theta }
که در آن
|
a
→
|
{\displaystyle \left\vert {\vec {a}\right\vert }
|
b
→
|
{\displaystyle \left\vert {\vec {b}\right\vert }
a
→
{\displaystyle {\vec {a}
b
→
{\displaystyle {\vec {b}
در نتیجه:[ ۳]
اگر
a
→
{\displaystyle {\vec {a}
b
→
{\displaystyle {\vec {b}
θ
=
90
∘
⇒
cos
θ
=
0
⟺
a
→
⋅
b
→
=
0
{\displaystyle \theta =90^{\circ }\Rightarrow \cos \theta =0\Longleftrightarrow {\vec {a}\cdot {\vec {b}=0}
اگر
a
→
{\displaystyle {\vec {a}
b
→
{\displaystyle {\vec {b}
θ
=
0
⇒
cos
θ
=
1
⟺
a
→
⋅
b
→
=
|
a
→
|
|
b
→
|
{\displaystyle \theta =0\Rightarrow \cos \theta =1\Longleftrightarrow {\vec {a}\cdot {\vec {b}=\left\vert {\vec {a}\right\vert \left\vert {\vec {b}\right\vert }
ضرب داخلی یک بردار در خودش برابر مقدار طول آن به توان ۲ است:
a
→
⋅
a
→
=
|
a
→
|
2
{\displaystyle {\vec {a}\cdot {\vec {a}=\left\vert {\vec {a}\right\vert ^{2}
[ ۴] متوازی‌السطوح از احجام‌برداری است که دارای حجم و مساحت است.
برای‌تشکیل متوازی‌السطوح احتیاج به ضرب‌خارجی سه‌بردار به‌نام (a,b,c) نیاز است. ویرایش پیداکردن حجم آن احتیاج به ضرب‌داخلی است.
ضرب‌داخلی بردارهای a,b,c به‌ترتیب این‌گونه است.
a
→
=
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
,
b
→
=
(
b
1
,
b
2
,
b
3
)
,
c
→
=
(
c
1
,
c
2
,
c
3
)
{\displaystyle {\vec {a}=(a_{1},a_{2},a_{3}),{\vec {b}=(b_{1},b_{2},b_{3}),{\vec {c}=(c_{1},c_{2},c_{3})}
حجم متوازی‌السطوح به این صورت است.
V
=
|
(
a
→
.
b
→
)
.
c
→
|
=
a
1
b
1
c
1
+
a
2
b
2
c
2
+
a
3
b
3
c
3
{\displaystyle V=|({\vec {a}.{\vec {b}).{\vec {c}|=a_{1}b_{1}c_{1}+a_{2}b_{2}c_{2}+a_{3}b_{3}c_{3}
جابه‌جایی :
a
→
⋅
b
→
=
b
→
⋅
a
→
{\displaystyle {\vec {a}\cdot {\vec {b}={\vec {b}\cdot {\vec {a}
[ ۳] پخش‌پذیری :
a
→
⋅
(
b
→
+
c
→
)
=
a
→
⋅
b
→
+
a
→
⋅
c
→
{\displaystyle {\vec {a}\cdot ({\vec {b}+{\vec {c})={\vec {a}\cdot {\vec {b}+{\vec {a}\cdot {\vec {c}
[ ۳] ضرب در عدد:
(
c
1
a
→
)
⋅
(
c
2
b
→
)
=
c
1
c
2
(
a
→
⋅
b
→
)
{\displaystyle (c_{1}{\vec {a})\cdot (c_{2}{\vec {b})=c_{1}c_{2}({\vec {a}\cdot {\vec {b})}
[ ۳] شرکت‌پذیری ممکن نیست.[ ۵] خط زدن ممکن نیست: اگر
a
→
⋅
b
→
=
a
→
⋅
c
→
{\displaystyle {\vec {a}\cdot {\vec {b}={\vec {a}\cdot {\vec {c}
b
→
=
c
→
{\displaystyle {\vec {b}={\vec {c}
a
→
⋅
b
→
=
a
→
⋅
c
→
⟹
a
→
⋅
(
b
→
−
c
→
)
=
0
⟹
θ
=
90
∘
{\displaystyle {\vec {a}\cdot {\vec {b}={\vec {a}\cdot {\vec {c}\Longrightarrow {\vec {a}\cdot ({\vec {b}-{\vec {c})=0\Longrightarrow \theta =90^{\circ }
نابرابری مثلثی :
‖
v
+
w
‖
≤
‖
v
‖
+
‖
w
‖
{\displaystyle \|\mathbf {v} +\mathbf {w} \|\leq \|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {w} \|}
‖
v
−
w
‖
≥
‖
v
‖
−
‖
w
‖
{\displaystyle \|\mathbf {v} -\mathbf {w} \|\geq \|\mathbf {v} \|-\|\mathbf {w} \|}
نابرابری کوشی-شوارتز (از بیان هندسی نتیجه می‌شود):
a
→
⋅
b
→
≤
|
a
→
|
|
b
→
|
{\displaystyle {\vec {a}\cdot {\vec {b}\leq \left\vert {\vec {a}\right\vert \left\vert {\vec {b}\right\vert }
برای دو بردار مختلط ، ضرب داخلی به صورت زیر تعریف می‌شود[ ۲]
a
⋅
b
=
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
¯
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}{a_{i}{\overline {b_{i}
که در اینجا،
b
i
¯
{\displaystyle {\overline {b_{i}
مزدوج مختلط بردار
b
i
{\displaystyle b_{i}
مفاهیم عمومی جبر برداری
ضرب خارجی Triple product
Seven-dimensional cross product جبر چندخطی
Geometric algebra
Exterior algebra
Bivector
Multivector ماتریس ساختارهای جبر مجرد جبر خطی عددی
ممیز شناور متلب Numerical stability
Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
ماتریس خلوت Comparison of linear algebra libraries
Comparison of numerical analysis software
شاخه‌ها ساختارهای جبری جبر خطی جبر چندخطی
جبر تنسوری
جبر خارجی جبر متقارن
جبر هندسی (چندبرداری) لیست موضوعات
جبر مجرد
ساختارهای جبری
نظریه گروه‌ها
جبر خطی واژه نامه‌ها
جبر خطی
نظریه میدان‌ها
نظریه حلقه‌ها
نظریه ترتیب مباحث مرتبط
