پوشش خطی

در ریاضیات، اسپن یا پوشش خطی (به انگلیسی: linear span) یا گسترهٔ مجموعهٔ ${\displaystyle S}$ از بردارهای یک فضای برداری با ${\displaystyle \operatorname {Span} (S)}$ نشان داده می‌شود.^[۱] گسترهٔ یک مجموعه برابر مجموعهٔ تمام بردارهایی است که از ترکیب‌های خطی عناصر ${\displaystyle S}$‌‌‌ به دست می‌آیند.^[۲] پوشش‌ها را می‌توان به میترویدها و مدول‌ها تعمیم داد.

برای بیان ${\displaystyle H=\operatorname {Span} (S)}$ معمولاً از این اصطلاحات استفاده می‌شود: ${\displaystyle S}$ مولد ${\displaystyle H}$ است؛ ${\displaystyle H}$ گسترهٔ ${\displaystyle S}$ است؛ ${\displaystyle S}$ فضای ${\displaystyle H}$ را پوشش می‌دهد؛ ${\displaystyle S}$ فضای ${\displaystyle H}$ را تولید می‌کند؛ فضای ${\displaystyle H}$ توسط ${\displaystyle S}$ پوشش داده می‌شود؛ فضای ${\displaystyle H}$ توسط ${\displaystyle S}$ تولید می‌شود؛ ${\displaystyle S}$ یک مجموعه پوششی برای ${\displaystyle H}$ است.

اگر در فضای برداری ${\displaystyle V}$ بر روی میدان ${\displaystyle F}$ مجموعهٔ مولد ${\displaystyle S}$ زیرمجموعه‌‌ای از بردارهای ${\displaystyle V}$ باشد، ${\displaystyle \operatorname {Span} (S)}$ مجموعهٔ تمام بردارهایی که از ترکیب خطی عناصر ${\displaystyle S}$‌‌‌ به دست می‌آیند تعریف می‌شود:^[۲]

${\displaystyle \operatorname {Span} (S)=\left\{\left.\sum _{v_{i}\in S}\lambda _{i}v_{i}\;\right|\;\lambda _{i}\in F}\right\}.}$

همچنین اسپن را می‌توان به صورت معادل «اشتراک همه زیرفضاهای برداری که شامل ${\displaystyle S}$ هستند»، یا به صورت «کوچکترین زیرفضای برداری شامل این مجموعه» تعریف کرد.^[۳]

• از روی هر تعریف، تعاریف معادل دیگر نتیجه می‌شوند.
• اگر در فضای برداری ${\displaystyle V}$ مجموعهٔ مولد ${\displaystyle S}$ زیرمجموعه‌‌ای از بردارهای ${\displaystyle V}$ باشد، ${\displaystyle H=\operatorname {Span} (S)}$ زیرفضای برداری ${\displaystyle V}$ است.^[۲]

• فضای برداری
• زیرفضای خطی
• استقلال خطی
• پایه (جبر خطی)
• بعد (فضای برداری)

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Linear span». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۷ نوامبر ۲۰۲۱.

• "Linear hull". دائرة المعارف ریاضیات. 5 April 2020. Retrieved 16 Feb 2021.{cite web}: نگهداری CS1: url-status (link)

• Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (PDF) (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.