فاکتوریل

	${\displaystyle n!}$
۰	۱
۱	۱
۲	۲
۳	۶
۴	۲۴
۵	۱۲۰
۶	۷۲۰
۷	۵٬۰۴۰
۸	۴۰٬۳۲۰
۹	۳۶۲٬۸۸۰
۱۰	۳٬۶۲۸٬۸۰۰
۱۱	۳۹٬۹۱۶٬۸۰۰
۱۲	۴۷۹٬۰۰۱٬۶۰۰
۱۳	۶٬۲۲۷٬۰۲۰٬۸۰۰
۱۴	۸۷٬۱۷۸٬۲۹۱٬۲۰۰
۱۵	۱٬۳۰۷٬۶۷۴٬۳۶۸٬۰۰۰
۲۰	۲٬۴۳۲٬۹۰۲٬۰۰۸٬۱۷۶٬۶۴۰٬۰۰۰
۲۵	۱۵٬۵۱۱٬۲۱۰٬۰۴۳٬۳۳۰٬۹۸۵٬۹۸۴٬۰۰۰٬۰۰۰

تابع فاکتوریل به صورت زیر تعریف شده:

این تابع به شکل توابع بازگشتی به صورت زیر تعریف می‌شود:

مثال

هر چند توضیحات فوق در رابطه با فاکتوریل کاملاً صحیح است اما نمی‌تواند توضیح دهد که چرا فاکتوریل صفر برابر با یک است؛ یا اینکه آیا اعداد اعشاری یا منفی هم فاکتوریل دارند یا خیر؟ در واقع فاکتوریل تعریف جامع‌تری دارد.

فاکتوریل ۰ برابر با ۱ می‌باشد.

بر‌اساس این تعریف خواهیم داشت:

برای محاسبه فاکتوریل بر روی اعداد غیرطبیعی از معادل ریاضیاتی فاکتوریل استفاده می‌کنیم؛ بنابراین بر اساس تعریف تابع گاما می‌توانیم به صورت ${\displaystyle n!=\Gamma (n+1)}$ بنویسیم.

در سطحی بالاتر تعریفی که برای فاکتوریل ارائه شده و می‌توان با استفاده از آن فاکتوریل را برای تمام اعداد به جز اعداد صحیح منفی محاسبه کرد. با استفاده از تعریف تابع گاما خواهیم داشت:

نکته دیگر در مورد اعداد صحیح منفی این است که مقدار فاکتوریل برای آن‌ها به سمت بی‌نهایت میل می‌کند. فاکتوریل کاربردهای بسیاری در علوم مختلف از جمله فیزیک دارد.

جالب است بدانید که : ${\displaystyle (-{\frac {1}{2})!={\sqrt {\pi }$

فاکتوریل زیر پیوند کلیات توابع بشمار می‌آید که برحسب جز؛ چیدمان از نواحی زیرین توابع موضوع می‌گیرد

• :${\displaystyle \log n!=\sum _{x=1}^{n}\log x.}$
• :${\displaystyle e\left({\frac {n}{e}\right)^{n}\leq n!\leq e\left({\frac {n+1}{e}\right)^{n+1}.}$
• :${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}\left({\frac {n}{e}\right)^{n}.}$
• :${\displaystyle n!=\Gamma (n+1).\,}$
• :${\displaystyle {\begin{aligned}n!=\Pi (n)&=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {k+1}{k}\right)^{n}\!\!{\frac {k}{n+k}=\left[\left({\frac {2}{1}\right)^{n}{\frac {1}{n+1}\right]\left[\left({\frac {3}{2}\right)^{n}{\frac {2}{n+2}\right]\left[\left({\frac {4}{3}\right)^{n}{\frac {3}{n+3}\right]\cdots .\end{aligned}$
• :${\displaystyle z!=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}z^{n}.}$
• :${\displaystyle (2k-1)!!=\prod _{i=1}^{k}(2i-1)={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}={\frac {_{2k}P_{k}{2^{k}={\frac {(2k)}^{\underline {k}{2^{k}.}$
• :${\displaystyle n\$\equiv {\begin{matrix}\underbrace {n!^{n!}^{\cdot }^{\cdot }^{\cdot }^{n!} \\n!\end{matrix},\,}$

• کتاب درسی جبر و احتمال، سال سوم نظام جدید (رشته ریاضی‌فیزیک).
• معادلات دیفرانسیل و کاربرد آنها/تألیف اصغر کرایه‌چیان - دانشگاه فردوسی مشهد
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Factorial». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۶ مارس ۲۰۰۹.