جانشینی مثلثاتی
جانشینی مثلثاتی (به انگلیسی : Trigonometric substitution ) در ریاضیات و در محاسبه انتگرال توابع به منظور سادهتر کردن توابع به کار میرود.مثلاً برای تبدیل عبارات رادیکالی و نمایی میتوان از این تبدیلها استفاده کرد[ ۱] [ ۲] .
اگر انتگرال شامل عبارت a 2 − x 2 باشد:
x
=
a
sin
θ
{\displaystyle x=a\sin \theta \,}
و از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:
1
−
sin
2
θ
=
cos
2
θ
.
{\displaystyle 1-\sin ^{2}\theta =\cos ^{2}\theta .\,}
اگر انتگرال شامل عبارت a 2 + x 2 , باشد:
x
=
a
tan
θ
{\displaystyle x=a\tan \theta \,}
از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:
1
+
tan
2
θ
=
sec
2
θ
.
{\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta .\,}
گر انتگرال شامل عبارت x 2 − a 2 , باشد:
x
=
a
sec
θ
{\displaystyle x=a\sec \theta \,}
از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:
sec
2
θ
−
1
=
tan
2
θ
.
{\displaystyle \sec ^{2}\theta -1=\tan ^{2}\theta .\,}
چند نمونه
انتگرالهای شامل g a 2 − x 2
در انتگرال زیر:
∫
d
x
a
2
−
x
2
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}
می توان از روابط مثلثاتی زیر استفاده کرد:
x
=
a
sin
(
θ
)
,
d
x
=
a
cos
(
θ
)
d
θ
,
θ
=
arcsin
(
x
a
)
{\displaystyle x=a\sin(\theta ),\quad dx=a\cos(\theta )\,d\theta ,\quad \theta =\arcsin \left({\frac {x}{a}\right)}
∫
d
x
a
2
−
x
2
=
∫
a
cos
(
θ
)
d
θ
a
2
−
a
2
sin
2
(
θ
)
=
∫
a
cos
(
θ
)
d
θ
a
2
(
1
−
sin
2
(
θ
)
)
=
∫
a
cos
(
θ
)
d
θ
a
2
cos
2
(
θ
)
=
∫
d
θ
=
θ
+
C
=
arcsin
(
x
a
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}&=\int {\frac {a\cos(\theta )\,d\theta }{\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}(\theta )}=\int {\frac {a\cos(\theta )\,d\theta }{\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}(\theta ))}\\[8pt]&=\int {\frac {a\cos(\theta )\,d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )}=\int d\theta =\theta +C=\arcsin \left({\frac {x}{a}\right)+C\end{aligned}
باید توجه داشت که در نمونه فوق باید همواره a > 0
نکته دیگر تغییر حدود انتگرال برای انتگرالهای معین است.مثلاً اگر x از 0 تا a /2 تغییر کند،sin(θ) از 0 تا 1/2 تغییر میکند ،در نتیجه θ از 0 تا π/6 تغییر میکند:
∫
0
a
/
2
d
x
a
2
−
x
2
=
∫
0
π
/
6
d
θ
=
π
6
.
{\displaystyle \int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}=\int _{0}^{\pi /6}d\theta ={\frac {\pi }{6}.}
منابع
انواع انتگرال
انتگرال ریمان
انتگرال لبگ
Burkill integral
Bochner integral
Daniell integral
Darboux integral
Henstock–Kurzweil integral
Haar integral
Hellinger integral
Khinchin integral
Kolmogorov integral
Lebesgue–Stieltjes integral
Pettis integral
Pfeffer integral
انتگرال ریمان–استیلتیس
Regulated integral
روشهای انتگرالگیری انتگرالهای ناسره حسابان تصادفی
حساب ایتو
Russo–Vallois integral
Stratonovich integral
Skorokhod integral
The article is a derivative under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License .
A link to the original article can be found here and attribution parties here
By using this site, you agree to the Terms of Use . Gpedia ® is a registered trademark of the Cyberajah Pty Ltd