سری هارمونیک

سری هارمونیک (به انگلیسی: Harmonic Series) نوعی سری ریاضی خاص است. سری هارمونیک دنباله‌ای است که اعضای آن، جمع ${\displaystyle n}$ عضو اول (مجموع‌های جزئی) دنبالهٔ هارمونیک هستند.

محاسبه

${\displaystyle n}$امین مجموع جزئی سری هارمونیک، به ${\displaystyle n}$امین عدد هارمونیک معروف است:

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}=1+{\frac {1}{2}+{\frac {1}{3}+{\frac {1}{4}+\cdots +{\frac {1}{n}$

مورد بالایی نوع خاصی از سری هارمونیک (${\displaystyle 1/k^{a}$) است، در اینجا ${\displaystyle a=1}$ است.

مقدار مجموع‌های جزئی

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{1}&=&1\\\\H_{2}&=&{\frac {3}{2}&=&1{,}5\\\\H_{3}&=&{\frac {11}{6}&=&1{,}833\dots \\\\H_{4}&=&{\frac {25}{12}&=&2{,}083\dots \end{matrix}$

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{5}&=&{\frac {137}{60}&=&2{,}283\dots \\\\H_{6}&=&{\frac {49}{20}&=&2{,}45\\\\H_{7}&=&{\frac {363}{140}&=&2{,}592\dots \\\\H_{8}&=&{\frac {761}{280}&=&2{,}717\dots \end{matrix}$

منابع

• جورج توماس، راس فینی، حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسهٔ تحلیلی ۱ (جلد ۲)، مرکز نشر دانشگاهی، ص. ۵۷۳-۵۹۰