قضیه استوکس

در هندسه دیفرانسیل، قضیه استوکس گزاره‌ای است درباره انتگرال فرم‌های دیفرانسیلی که حالت عمومی چند قضیه دیگر می‌باشد. این قضیه به نام جرج گابریل استوکس نام‌گذاری شده.

تعریف

هرگاه ${\displaystyle \psi }$ یک زنجیر k بعدی از رده ${\displaystyle \varphi ''}$ در مجموعه ${\displaystyle V\subset R^{m}$ و ${\displaystyle \omega }$ یک فرم (k-۱) بعدی از رده ${\displaystyle \varphi '}$ در ${\displaystyle V}$ باشد، آنگاه :

${\displaystyle \int _{\psi }d\omega =\oint _{\partial \psi }\omega }$

حالت‌های خاص

• حالت k = m = ۱ قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال با فرض اضافی مشتقپذیری است.
• حالت k = m = ۲ قضیه گرین است
• حالت k = m = ۳ قضیه دیورژانس گاوس است
• حالت k = ۲، m = ۳ قضیه‌ای است که توسط جرج گابریل استوکس کشف شد.

رابطه تاو (چرخش یا کِرل) و قضیه استوکس

حالت خاصی از قضیه استوکس به قضیه کاربردی زیر تبدیل می‌شود که در بسیاری از کتاب‌های درسی از این قضیه به عنوان قضیه استوکس نام برده می شود:

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n} \;da}$

در اینجا ${\displaystyle \mathbf {F} \;}$ یک میدان برداری دلخواه در فضااست، ${\displaystyle S}$ رویه ای جهت پذیر در فضا است به طوری که خم ${\displaystyle C}$ مرز آن رویه است. بردار ${\displaystyle d\mathbf {r} }$؛ بردار المان طول در راستای خم ${\displaystyle C}$(مرز رویه ${\displaystyle S}$) است و بردار ${\displaystyle \mathbf {\hat {n} }$ بردار یکه(به طول یک) و عمود بر رویه ${\displaystyle S}$ است.

انتخاب جهت بردار های ${\displaystyle \mathbf {\hat {n} }$ و ${\displaystyle d\mathbf {r} }$

که برای هر یک از بردار های ${\displaystyle \mathbf {\hat {n} }$ و ${\displaystyle d\mathbf {r} }$ در انتگرال های فوق دو جهت می توان در نظر گرفت و در صورت اشتباه در انتخاب جهت ها ممکن است تساوی فوق از لحاظ علامت اشتباه به دست آید.

برای انتخاب این جهت می توان به طریق زیر عمل کرد: اگر فرض کنید که شخصی روی خم ${\displaystyle C}$ در جهت انتگرالگیری (یعنی همان جهت ${\displaystyle d\mathbf {r} }$) راه برود و طوری بایستد که راستای قامتش در جهت ${\displaystyle \mathbf {\hat {n} }$ آنگاه دست چپ وی به سمت داخل رویه خواهد بود.

منابع

• والتر رودین (۱۳۸۱)، اصول آنالیز ریاضی، ترجمهٔ علی اکبر عالم‌زاده، تهران: انتشارات علمی وفنی، ص. صفحه ۳۳۰، شابک ۹۶۴-۶۲۱۵-۰۰-۹
• سیاوش شهشهانی، حساب دیفرانسیل و انتگرال(جلد دوم)