Kroneckerov simbol

U matematici, Kroneckerov simbol^[1] ili Kroneckerov delta simbol je po dijelovima zadana realna funkcija dvije realne varijable:^[2]

$${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{ako }i\neq j,\\1&{\text{ako }i=j.\end{cases}$$

Na primjer, ${\displaystyle \delta _{12}=0}$ jer ${\displaystyle 1\neq 2}$, dok je primjerice ${\displaystyle \delta _{22}=1}$ jer je ${\displaystyle 2=2}$.

Ova i slične funkcije rabe se u svim temeljnim područjima matematike, posebice u linearnoj algebri, fizici i inženjerstvu.

Funkcija nosi ime po njemačkom matematičaru Leopoldu Kroneckeru (1823. – 1891.).

Neke primjene

Jedinična matrica

Lako se vidi da se koeficijenti kvadratne jedinične matrice ${\displaystyle {\text{I}$ reda ${\displaystyle n}$ upravo mogu zadati preko Kroneckerovog simbola: ${\displaystyle I_{ij}=\delta _{ij}$ kad ${\displaystyle i,j}$ prolaze skupom ${\displaystyle \{1,2,\cdots ,n\}$.

Skalarni produkt

Skalarni produkt može se kompaktno zapisati i rabeći Kroneckerov delta simbol:

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.}$$

Ovdje su vektori ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ definirani jednostavno kao uređene n-torke: ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ i ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},...,b_{n})}$.

Ortonormirana baza

Neka je ${\displaystyle U}$ unitaran prostor i ${\displaystyle S=\{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{k}\}\subset U}$ linearno nezavisan skup. Tada kažemo da je ${\displaystyle S}$ ortonormirana baza od ${\displaystyle U}$ ako je ${\displaystyle s(a_{i},a_{j})=\delta _{ij}$.

Za ${\displaystyle i=j=k\in \mathbb {N} }$ imamo ${\displaystyle s(a_{i},a_{i})=1}$ što povlači ${\displaystyle ||a_{k}||=1}$.

Dakle, vektori skupa ${\displaystyle S}$ ne samo da su ortogonalni, nego su i normirani, odnosno jedinične duljine, a otuda i dolazi naziv za jedinični vektor – "ort".

Domena

Tradicionalno, domena ove funkcije restringirana je na nenegativne cijele brojeve, no ona se može definirati za proizvoljan skup.

Izvori