Kronecker-delta

Det matematiske symbolet Kronecker-delta ${\displaystyle \delta _{ij}$, som var innført av Leopold Kronecker, er en funksjon av to variabler. Kalles også Kronecker-symbol og delta-funksjon.

Kronecker-delta er definert som:

${\displaystyle \delta _{ij}=\left\{\begin{matrix}1&{\mbox{for }i=j\\0&{\mbox{for }i\neq j\end{matrix}\right.}$

hvor i og j er elementer i en mengde ${\displaystyle I}$.

Kronecker-delta er ofte skrevet som

${\displaystyle \delta =\mathrm {1} _{D}:I\times I\to \{0,1\}$,

når den står for den karakteristisk funksjonen ${\displaystyle \mathrm {1} _{D}$ i en diagonalmengde.

${\displaystyle D=\{(i,j)\in I\times I:\;i=j\}$.

For kontinuerlige indekser går Kronecker-delta over i Diracs deltafunksjon.

Innen lineær algebra er symbolet brukt for å uttrykka enhetsmatrisen ${\displaystyle n\times n}$ som ${\displaystyle (\delta _{ij})}$ med ${\displaystyle {1\leq i,j\leq n}$. En 3x3 enhetsmatrise kan uttrykkes som:

${\displaystyle (\delta _{ij})={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.

Kronecker-delta kan brukes for å uttrykke skalarproduktet av to orthonormale vektorer:

${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}$ som ${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =\delta _{ij}$.

Innen signalbehandling og reguleringsteknikk er symbolet brukt for å representere en impuls:

${\displaystyle \delta (n)={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}$