តារាងអាំងតេក្រាល

សូមមើលនៅក្នុងតារាងខាងក្រោម​សំរាប់តារាងពេញលេញចំពោះអាំងតេក្រាលប្រភេទអនុគមន៍​នីមួយៗ៖

• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍សនិទាន
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អសនិទាន
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ច្រាស់ត្រីកោណមាត្រ
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ច្រាស់អ៊ីពែបូលីក
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍លោការីត

អាំងតេក្រាល ជាប្រមាណវិធីគោលមួយក្នុងចំនោមប្រមាណវិធីគោលទាំង២​នៅក្នុងគណិតវិទ្យាវិភាគ។ ដេរីវេ អាចគណនាបានដោយងាយ​ដោយប្រើដេរីវេនៃអនុគមន៍គោល ចំនែកអាំងតេក្រាលវិញតែងមានការលំបាក ជាហេតុធ្វើអោយគេចាំបាច់ពឹងលើតារាងអាំងតេក្រាល។ អត្ថបទនេះនិងណែនាំអំពីអាំងតេក្រាលសំខាន់ៗមួយចំនួន។

យើងកំនត់យក C ធ្វើជាថេរអាំងតេក្រាល ដែលអាចគណនារកបាន កាលណាគេដឹងតំលៃអាំងតេក្រាលនៅត្រង់ចំនុចមួយ។ ហេតុនេះអាំងតេក្រាល(ព្រីមីទីវ)នៃអនុគមន៍​មួយ មានចំនួនរាប់មិនអស់។

សូមរកមើលផងដែរក្នុង តារាងដេរីវេ

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អសនិទាន

${\displaystyle \int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}=\sin ^{-1}{x \over a}+C}$

${\displaystyle \int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}=\cos ^{-1}{x \over a}+C}$

${\displaystyle \int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}={1 \over a}\sec ^{-1}{|x| \over a}+C}$

${\displaystyle \int {-dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}={1 \over a}\csc ^{-1}{|x| \over a}+C}$

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍លោការីត

${\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C}$

${\displaystyle \int \log _{b}(x)\,dx=x\log _{b}(x)-x\log _{b}(e)+C}$

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

${\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}$

${\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}{\ln(a)}+C}$

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និង តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ច្រាស់ត្រីកោណមាត្រ

${\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}$

${\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}$

${\displaystyle \int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \csc {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C}$

${\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C}$

${\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C}$

${\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C}$

${\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}(x-{\frac {\sin 2x}{2})+C={\frac {1}{2}(x-\sin x\cos x)+C}$

${\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}(x+{\frac {\sin 2x}{2})+C={\frac {1}{2}(x+\sin x\cos x)+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}\ln |\sec x+\tan x|+C}$

(see integral of secant cubed)

${\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}{n}+{\frac {n-1}{n}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx}$

${\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}{n}+{\frac {n-1}{n}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}$

${\displaystyle \int \arctan {x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C}$

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក

${\displaystyle \int \sinh x\,dx=\cosh x+C}$

${\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C}$

${\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C}$

${\displaystyle \int {\mbox{csch}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C}$

${\displaystyle \int {\mbox{sech}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C}$

${\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C}$

${\displaystyle \int {\mbox{sech}^{2}x\,dx=\tanh x+C}$

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ច្រាស់អ៊ីពែបូលីក

${\displaystyle \int \operatorname {arcsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arctanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctanh} \,x+{\frac {1}{2}\log {(1-x^{2})}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccsch} \,x+\log {\left[x\left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}+1\right)\right]}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsech} \,x-\arctan {\left({\frac {x}{x-1}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}\right)}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccoth} \,x+{\frac {1}{2}\log {(x^{2}-1)}+C}$

មានអនុគមន៍ខ្លះ គេមិនអាចរកព្រីមីទីវ​របស់វាតាមរយៈការធ្វើអាំងតេក្រាលធម្មតាបានទេ ប៉ុន្តែគេអាចគណនារកតំលៃអាំងតេក្រាលកំនត់របស់វា​នៅក្នុងចន្លោះមួយ។ ឧទាហរណ៍មួយចំនួនត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម៖

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}\,e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}{\sqrt {\pi }$ (មើលផងដែរ អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}\,dx}={\frac {1}{2}{\sqrt {\pi }$ (អាំងតេក្រាលហ្គោស)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}\,dx}={\frac {\pi ^{2}{6}$ (មើលផងដែរ ចំនួនប៊ែរនូយី)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}{e^{x}-1}\,dx}={\frac {\pi ^{4}{15}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}\,dx={\frac {\pi }{2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}\sin ^{n}{x}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}\cos ^{n}{x}\,dx={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot n}{\frac {\pi }{2}$ (បើ n ជាចំនួនរ៉ឺឡាទីបគូ​ហើយ ${\displaystyle \scriptstyle {n\geq 2}$)

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}\sin ^{n}{x}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}\cos ^{n}{x}\,dx={\frac {2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot (n-1)}{3\cdot 5\cdot 7\cdot \cdots \cdot n}$ (បើ${\displaystyle \scriptstyle {n}$ ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបសេស​ហើយ ${\displaystyle \scriptstyle {n\geq 3}$)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}{x}{x^{2}\,dx={\frac {\pi }{2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)}$ (ដែល ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ជា អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា)

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}\right]}$ (ដែល ${\displaystyle \exp[u]}$ ជា អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ${\displaystyle e^{u}$, ហើយ ${\displaystyle a>0}$)

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)}$ (ដែល ${\displaystyle I_{0}(x)}$ ជា អនុគមន៍បេសសលប្រភេទទី១)

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}\right)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{(1+x^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}dx}={\frac {\sqrt {\nu \pi }\ \Gamma (\nu /2)}{\Gamma ((\nu +1)/2))}\,}$, ${\displaystyle \nu >0\,}$, ទាក់ទិននិង អនុគមន៍ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ នៃ របាយស្ទូដិន)

method of exhaustion ផ្ដល់នូវរូបមន្តទូទៅក្នុងករណីដែលគ្មានអនុគមន៍ព្រីមីទីវ៖

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)\,dx}=(b-a)\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)2^{-n}).}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&&(=1.29\dots )\\\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }-(-1)^{n}n^{-n}&&(=0.783430510712\dots )\end{aligned}$

• S.O.S. Mathematics: Tables and Formulas
• Paul's Online Math Notes