Danh sách tích phân
Tích phân toán học vi tích phân , phép toán kia là vi phân .
Bài viết này liệt kê những tích phân bất định (nguyên hàm ) thường gặp nhất.
Các bảng nguyên hàm thường hữu ích trong quá trình tính toán tích phân, mặc dù hiện nay vai trò của chúng mất đi phần nào với sự xuất hiện của các công cụ tính toán tích phân bằng máy tính.
Mỗi hàm nếu có nguyên hàm thì có vô số các nguyên hàm, khác nhau bởi hằng số C , gọi là hằng số tích phân. Giá trị của C có thể xác định nếu biết giá trị của tích phân tại một điểm nào đó.
Quy tắc tính tích phân
∫
[
f
(
x
)
+
g
(
x
)
]
d
x
=
∫
f
(
x
)
d
x
+
∫
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}
Tích phân các hàm cơ bản
∫
0
d
x
=
C
{\displaystyle ~\int \!0\,dx=C}
∫
a
d
x
=
a
x
+
C
{\displaystyle ~\int \!a\,dx=ax+C}
∫
x
n
d
x
=
{
x
n
+
1
n
+
1
+
C
,
n
≠
−
1
ln
|
x
|
+
C
,
n
=
−
1
{\displaystyle ~\int \!x^{n}\,dx={\begin{cases}{\frac {x^{n+1}{n+1}+C,&n\neq -1\\\ln \left|x\right|+C,&n=-1\end{cases}
∫
d
x
a
2
+
x
2
=
1
a
arctg
x
a
+
C
=
−
1
a
arcctg
x
a
+
C
{\displaystyle \int \!{dx \over {a^{2}+x^{2}={1 \over a}\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}+C=-{1 \over a}\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}+C}
Chứng minh
Lấy đạo hàm vế phải:
d
d
x
(
1
a
arctg
x
a
+
C
)
=
d
d
x
(
1
a
arctg
x
a
)
=
1
a
⋅
d
d
(
x
a
)
(
arctg
x
a
)
⋅
d
d
x
(
x
a
)
=
1
a
⋅
1
1
+
x
2
a
2
⋅
1
a
=
1
a
2
⋅
a
2
+
x
2
a
2
=
1
a
2
+
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\,\left({1 \over a}\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}+C\right)={d \over dx}\,\left({1 \over a}\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}\right)={\frac {1}{a}\cdot {d \over d\left({x \over a}\right)}\left(\operatorname {arctg} {\frac {x}{a}\right)\cdot {d \over dx}\left({x \over a}\right)={\frac {1}{a}\cdot {\frac {1}{1+{\frac {x^{2}{a^{2}\cdot {\frac {1}{a}={\frac {1}{a^{2}\cdot {\frac {a^{2}+x^{2}{a^{2}={\frac {1}{a^{2}+x^{2}
∫
d
x
x
2
−
a
2
=
1
2
a
ln
|
x
−
a
x
+
a
|
+
C
{\displaystyle \int \!{dx \over {x^{2}-a^{2}={1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}\right|+C}
∫
ln
x
d
x
=
x
ln
x
−
x
+
C
{\displaystyle \int \!\ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C}
∫
d
x
x
ln
x
=
ln
|
ln
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x\ln x}=\ln |\ln x|+C}
∫
log
b
x
d
x
=
x
log
b
x
−
x
log
b
e
+
C
=
x
ln
x
−
1
ln
b
+
C
{\displaystyle \int \!\log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C=x{\frac {\ln {x}-1}{\ln b}+C}
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
{\displaystyle \int \!e^{x}\,dx=e^{x}+C}
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
a
+
C
{\displaystyle \int \!a^{x}\,dx={\frac {a^{x}{\ln {a}+C}
Hàm vô tỉ
∫
d
x
a
2
−
x
2
=
arcsin
x
a
+
C
{\displaystyle \int \!{dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}=\arcsin {x \over a}+C}
∫
−
d
x
a
2
−
x
2
=
arccos
x
a
+
C
{\displaystyle \int \!{-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}=\arccos {x \over a}+C}
∫
d
x
x
x
2
−
a
2
=
1
a
arcsec
|
x
|
a
+
C
{\displaystyle \int \!{dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}={1 \over a}\,\operatorname {arcsec} \,{|x| \over a}+C}
∫
d
x
x
2
±
a
2
=
ln
|
x
+
x
2
±
a
2
|
+
C
{\displaystyle \int \!{dx \over {\sqrt {x^{2}\pm a^{2}=\ln \left|{x+{\sqrt {x^{2}\pm a^{2}\right|+C}
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \!\sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \!\cos {x}\,dx=\sin {x}+C}
∫
tg
x
d
x
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
{\displaystyle \int \!\operatorname {tg} \,{x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}
∫
ctg
x
d
x
=
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \int \!\operatorname {ctg} \,{x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}
Chứng minh 2 công thức trên
∫
tg
x
d
x
=
∫
sin
x
cos
x
d
x
=
−
∫
d
(
cos
x
)
cos
x
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
{\displaystyle \int \!\operatorname {tg} \,{x}\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}dx=-\int {\frac {d(\cos x)}{\cos x}=-\ln |\cos x|+C}
∫
ctg
x
d
x
=
∫
cos
x
sin
x
d
x
=
∫
d
(
sin
x
)
sin
x
=
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \int \!\operatorname {ctg} \,{x}\,dx=\int {\frac {\cos x}{\sin x}dx=\int {\frac {d(\sin x)}{\sin x}=\ln |\sin x|+C}
∫
sec
x
d
x
=
ln
|
sec
x
+
tg
x
|
+
C
{\displaystyle \int \!\sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\operatorname {tg} \,{x}\right|}+C}
∫
csc
x
d
x
=
−
ln
|
csc
x
+
ctg
x
|
+
C
{\displaystyle \int \!\csc {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}+\operatorname {ctg} \,{x}\right|}+C}
∫
sec
2
x
d
x
=
∫
d
x
cos
2
x
=
tg
x
+
C
{\displaystyle \int \!\sec ^{2}x\,dx=\int \!{dx \over \cos ^{2}x}=\operatorname {tg} \,x+C}
∫
csc
2
x
d
x
=
∫
d
x
sin
2
x
=
−
ctg
x
+
C
{\displaystyle \int \!\csc ^{2}x\,dx=\int \!{dx \over \sin ^{2}x}=-\operatorname {ctg} \,x+C}
∫
sec
x
tg
x
d
x
=
sec
x
+
C
{\displaystyle \int \!\sec {x}\,\operatorname {tg} \,{x}\,dx=\sec {x}+C}
∫
csc
x
ctg
x
d
x
=
−
csc
x
+
C
{\displaystyle \int \!\csc {x}\,\operatorname {ctg} \,{x}\,dx=-\csc {x}+C}
∫
sin
2
x
d
x
=
1
2
(
x
−
sin
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle \int \!\sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}(x-\sin x\cos x)+C}
∫
cos
2
x
d
x
=
1
2
(
x
+
sin
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle \int \!\cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}(x+\sin x\cos x)+C}
∫
sin
n
x
d
x
=
−
sin
n
−
1
x
cos
x
n
+
n
−
1
n
∫
sin
n
−
2
x
d
x
,
n
∈
N
,
n
⩾
2
{\displaystyle \int \!\sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}{n}+{\frac {n-1}{n}\int \!\sin ^{n-2}{x}\,dx,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2}
∫
cos
n
x
d
x
=
cos
n
−
1
x
sin
x
n
+
n
−
1
n
∫
cos
n
−
2
x
d
x
,
n
∈
N
,
n
⩾
2
{\displaystyle \int \!\cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}{n}+{\frac {n-1}{n}\int \!\cos ^{n-2}{x}\,dx,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2}
∫
arctg
x
d
x
=
x
arctg
x
−
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int \!\operatorname {arctg} \,{x}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,{x}-{\frac {1}{2}\ln {\left(1+x^{2}\right)}+C}
∫
sh
x
d
x
=
ch
x
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {sh} \,x\,dx=\operatorname {ch} \,x+C}
∫
ch
x
d
x
=
sh
x
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {ch} \,x\,dx=\operatorname {sh} \,x+C}
∫
d
x
ch
2
x
=
th
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\operatorname {ch} ^{2}\,x}=\operatorname {th} \,x+C}
∫
d
x
sh
2
x
=
−
cth
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\operatorname {sh} ^{2}\,x}=-\operatorname {cth} \,x+C}
∫
th
x
d
x
=
ln
|
ch
x
|
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {th} \,x\,dx=\ln |\operatorname {ch} \,x|+C}
∫
csch
x
d
x
=
ln
|
th
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\operatorname {th} \,{x \over 2}\right|+C}
∫
sech
x
d
x
=
arctg
(
sh
x
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=\operatorname {arctg} \,(\operatorname {sh} \,x)+C}
ngoài ra
∫
sech
x
d
x
=
2
arctg
(
e
x
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\,\operatorname {arctg} \,(e^{x})+C}
và
∫
sech
x
d
x
=
2
arctg
(
th
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\,\operatorname {arctg} \,\left(\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}\right)+C}
∫
cth
x
d
x
=
ln
|
sh
x
|
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {cth} \,x\,dx=\ln |\operatorname {sh} \,x|+C}
Chứng minh
Chứng minh công thức
∫
sech
x
d
x
=
arctan
(
sh
x
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan(\operatorname {sh} \,x)+C}
(
arctg
(
sh
x
)
+
C
)
′
=
ch
x
sh
2
x
+
1
=
ch
x
ch
2
x
−
1
+
1
=
1
ch
x
=
sech
x
{\displaystyle \left(\operatorname {arctg} (\operatorname {sh} \,x\right)+C)'={\frac {\operatorname {ch} \,x}{\operatorname {sh} ^{2}\,x+1}={\frac {\operatorname {ch} \,x}{\operatorname {ch} ^{2}\,x-1+1}={\frac {1}{\operatorname {ch} \,x}=\operatorname {sech} \,x}
Chứng minh công thức
∫
sech
x
d
x
=
2
arctg
(
e
x
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\operatorname {arctg} (e^{x})+C}
(
2
arctg
(
e
x
)
+
C
)
′
=
2
e
x
e
2
x
+
1
=
2
e
x
+
e
−
x
=
1
ch
x
=
sech
x
{\displaystyle \left(2\operatorname {arctg} (e^{x})+C\right)'={\frac {2e^{x}{e^{2x}+1}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}={\frac {1}{\operatorname {ch} \,x}=\operatorname {sech} \,x}
Chứng minh công thức
∫
sech
x
d
x
=
2
arctg
(
th
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\,\operatorname {arctg} \,\left(\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}\right)+C}
(
2
arctg
(
th
x
2
)
+
C
)
′
=
sech
2
x
2
th
2
x
2
+
1
=
1
sh
2
x
2
+
ch
2
x
2
=
1
ch
x
=
sech
x
{\displaystyle \left(2\,\operatorname {arctg} \,\left(\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}\right)+C\right)'={\frac {\operatorname {sech} ^{2}{\frac {x}{2}{\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}+1}={\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{2}+\operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{2}={\frac {1}{\operatorname {ch} \,x}=\operatorname {sech} \,x}
Liên kết ngoài Bảng tích phân
The article is a derivative under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License .
A link to the original article can be found here and attribution parties here
By using this site, you agree to the Terms of Use . Gpedia ® is a registered trademark of the Cyberajah Pty Ltd
![{\displaystyle \int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc2c6e2acadf432d22ca42bc6a21af25e48e64d)
