四十二角形

四十二角形（よんじゅうにかくけい、よんじゅうにかっけい、tetracontadigon）は、多角形の一つで、42本の辺と42個の頂点を持つ図形である。内角の和は7200°、対角線の本数は819本である。

正四十二角形においては、中心角と外角は8.571…°で、内角は171.428…°となる。一辺の長さが a の正四十二角形の面積 S は

${\displaystyle S={\frac {42}{4}a^{2}\cot {\frac {\pi }{42}\simeq 140.11276a^{2}$

${\displaystyle \cos(2\pi /42)}$を平方根と立方根で表すことが可能である。

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{42}=&\cos {\frac {\pi }{21}\\=&{\frac {1}{12}{\sqrt {72+72\cos {\frac {2\pi }{21}\\=&{\frac {1}{12}{\sqrt {72+72\cdot {\frac {1+{\sqrt {21}+{\sqrt[{3}]{154-30{\sqrt {21}+\left(42{\sqrt {3}-18{\sqrt {7}\right)i}+{\sqrt[{3}]{154-30{\sqrt {21}+\left(18{\sqrt {7}-42{\sqrt {3}\right)i}{12}\\=&{\frac {1}{12}{\sqrt {72+6\left({1+{\sqrt {21}+{\sqrt[{3}]{154-30{\sqrt {21}+\left(42{\sqrt {3}-18{\sqrt {7}\right)i}+{\sqrt[{3}]{154-30{\sqrt {21}+\left(18{\sqrt {7}-42{\sqrt {3}\right)i}\right)}\end{aligned}$

関係式

以下のように定義すると

${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =2\cos {\frac {2\pi }{42}+2\cos {\frac {10\pi }{42}+2\cos {\frac {34\pi }{42}={\frac {-1+{\sqrt {21}{2}\\&\beta =2\cos {\frac {22\pi }{42}+2\cos {\frac {26\pi }{42}+2\cos {\frac {38\pi }{42}={\frac {-1-{\sqrt {21}{2}\\\end{aligned}$

${\displaystyle \alpha ,\beta }$は以下の関係式より求められる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha +\beta =-1\\&(\alpha -\beta )^{2}=21\\\end{aligned}$

三次方程式の係数を求めると

${\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{42}\cdot 2\cos {\frac {10\pi }{42}+2\cos {\frac {10\pi }{42}\cdot 2\cos {\frac {34\pi }{42}+2\cos {\frac {34\pi }{42}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{42}=-\alpha -1\\&2\cos {\frac {2\pi }{42}\cdot 2\cos {\frac {10\pi }{42}\cdot 2\cos {\frac {34\pi }{42}=\beta -2\\\end{aligned}$

解と係数の関係より

${\displaystyle x^{3}-\alpha x^{2}+(-\alpha -1)x-(\beta -2)=0}$

変数変換、関係式より

${\displaystyle x=y+\alpha /3,\quad \beta =-1-\alpha ,\quad \alpha ^{2}=5-\alpha ,\quad \alpha ^{3}=6\alpha -5}$

整理すると

${\displaystyle y^{3}-{\frac {2\alpha +8}{3}x+{\frac {15\alpha +46}{27}=0}$

三角関数、逆三角関数を使用した解は

${\displaystyle x={\frac {\alpha }{3}+{\frac {2{\sqrt {2\alpha +8}{3}\cos \left({\frac {1}{3}\arccos {\frac {-(15\alpha +46)}{2({2\alpha +8})^{\frac {3}{2}\right)}$

平方根と立方根で表すと

${\displaystyle {\begin{aligned}&x={\frac {\alpha }{3}+{\frac {\sqrt {2\alpha +8}{3}{\sqrt[{3}]{\frac {-(15\alpha +46)}{2({2\alpha +8})^{\frac {3}{2}+i{\frac {\sqrt {189(\alpha +3)}{2({2\alpha +8})^{\frac {3}{2}+{\frac {\sqrt {2\alpha +8}{3}{\sqrt[{3}]{\frac {-(15\alpha +46)}{2({2\alpha +8})^{\frac {3}{2}-i{\frac {\sqrt {189(\alpha +3)}{2({2\alpha +8})^{\frac {3}{2}\\&x={\frac {\alpha }{3}+{\frac {1}{6}{\sqrt[{3}]{-4(15\alpha +46)}+i\cdot 4{\sqrt {189(\alpha +3)}+{\frac {1}{6}{\sqrt[{3}]{-4(15\alpha +46)-i\cdot 4{\sqrt {189(\alpha +3)}\end{aligned}$

αの値((-1+√21)/2)を代入して、整理すると

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{42}={\frac {-1+{\sqrt {21}+{\sqrt[{3}]{-154-30{\sqrt {21}+\left(42{\sqrt {3}+18{\sqrt {7}\right)i}+{\sqrt[{3}]{-154-30{\sqrt {21}-\left(42{\sqrt {3}+18{\sqrt {7}\right)i}{12}$

正四十二角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正四十二角形は折紙により作図可能である。

• 七角形
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