十三角形
正十三角形
十三角形(じゅうさんかくけい、じゅうさんかっけい、triskaidecagon)は、多角形の一つで、13本の辺と13個の頂点を持つ図形である。内角の和は1980°、対角線の本数は65本である。
正十三角形
正十三角形においては、中心角と外角は27.692307…°で、内角は152.307692…°となる(下線部は循環節)。一辺の長さが a の正十三角形の面積 S は
![{\displaystyle S={\frac {13}{4}a^{2}\cot {\frac {\pi }{13}\simeq 13.1858\,a^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb15660e0d28372d156ab9a657cf409f22375cb2)
となる。
を平方根と立方根で表すと[1]、
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{13}={\frac {-1+{\sqrt {13}{12}+{\frac {1}{6}{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}+3i{\sqrt {39}{2}+{\frac {1}{6}{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}-3i{\sqrt {39}{2}=0.8854560...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d882ce8a885c2ea8d73c97a95006d0ca01b3ec)
Trigonometric constants expressed in real radicalsより
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{13}={\frac {\sqrt {13}-1+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}-12i{\sqrt {39}+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}+12i{\sqrt {39}{12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ad6962d136ede8554a9e315daafd41531b8e5e)
また、以下の関係が成り立つ。
![{\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{13}+2\cos {\frac {10\pi }{13}={\frac {-2+{\sqrt[{3}]{-260-156{\sqrt {3}i}\omega +{\sqrt[{3}]{-260+156{\sqrt {3}i}\omega ^{2}{6}={\frac {1}{3}\left(-1+{\sqrt {13}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5-3{\sqrt {3}i}{2{\sqrt {13}\omega +{\sqrt {13}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5+3{\sqrt {3}i}{2{\sqrt {13}\omega ^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc27911b1fb526a01a91e1f9803d22874ec92f79)
![{\displaystyle 2\cos {\frac {4\pi }{13}+2\cos {\frac {6\pi }{13}={\frac {-2+{\sqrt[{3}]{-260-156{\sqrt {3}i}+{\sqrt[{3}]{-260+156{\sqrt {3}i}{6}={\frac {1}{3}\left(-1+{\sqrt {13}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5-3{\sqrt {3}i}{2{\sqrt {13}+{\sqrt {13}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5+3{\sqrt {3}i}{2{\sqrt {13}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0d3ebbb2434351da562a98415d54d76e06b80b)
![{\displaystyle 2\cos {\frac {8\pi }{13}+2\cos {\frac {12\pi }{13}={\frac {-2+{\sqrt[{3}]{-260-156{\sqrt {3}i}\omega ^{2}+{\sqrt[{3}]{-260+156{\sqrt {3}i}\omega }{6}={\frac {1}{3}\left(-1+{\sqrt {13}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5-3{\sqrt {3}i}{2{\sqrt {13}\omega ^{2}+{\sqrt {13}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5+3{\sqrt {3}i}{2{\sqrt {13}\omega \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d35e9f8b45d87d8974e22346994cdae6a381e82)
正十三角形の作図
正十三角形はコンパスと定規による作図が不可能な図形である。
正十三角形は折紙により作図可能である[2]。
正十三角形を用いたもの
チェコの20コルナ硬貨やチュニジアの200ミリーム硬貨は正十三角形をしている。
20コルナ硬貨
脚注
関連項目
外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、
十三角形に関連するカテゴリがあります。
- Weisstein, Eric W. "Tridecagon". mathworld.wolfram.com (英語).
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 |
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (selected) | |
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辺の数: 71–100 (selected) | |
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辺の数: 101– (selected) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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