이 문서는 수학에서 집합의 크기를 측정하는 함수 측도(測度)에 관한 것입니다. 인천광역시의 섬 측도(測島)에 대해서는
선재도 문서를 참고하십시오.
수학 에서 측도 (測度, 영어 : measure )는 특정 부분 집합 에 대해 일종의 ‘크기’를 부여하며, 그 크기를 가산개 로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 함수이다.[1] 측도의 개념은 유한 집합 의 원소의 수 · 실수 구간 의 길이 · 평면 도형의 넓이 · 3차원 입체의 부피 의 개념을 공통적으로 일반화한다. 측도가 부여된 집합을 측도 공간 (測度空間, 영어 : measure space )이라고 한다. 이와 같이 측도와 측도 공간을 연구하는 수학 분야를 측도론 (測度論, 영어 : measure theory )이라고 한다.
정의
측도
불 대수 의 두 원소
x
,
y
∈
B
{\displaystyle x,y\in B}
에 대하여,
x
∧
y
=
⊥
{\displaystyle x\land y=\bot }
라면 두 원소가 서로소 (-素, 영어 : disjoint )라고 한다.
임의의 음이 아닌 확장된 실수 들의 (비가산 일 수 있는) 집합
S
⊆
[
0
,
∞
]
{\displaystyle S\subseteq [0,\infty ]}
의 합을 다음과 같이 정의하자.[2] :129, (10.10)
∑
S
=
sup
S
′
⊆
S
|
S
′
|
<
ℵ
0
∑
S
′
∈
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \sum S=\sup _{\scriptstyle S'\subseteq S \atop \scriptstyle |S'|<\aleph _{0}\sum S'\in [0,\infty ]}
임의의 기수
κ
{\displaystyle \kappa }
가 주어졌다고 하자.
κ
{\displaystyle \kappa }
-완비 불 대수
Σ
{\displaystyle \Sigma }
위의 함수
μ
:
Σ
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]}
가 다음 조건을 만족시킨다면,
μ
{\displaystyle \mu }
가
κ
{\displaystyle \kappa }
-가법 측도 (-加法測度, 영어 :
κ
{\displaystyle \kappa }
-additive measure )라고 한다.
임의의 서로소 원소들로 구성된 부분 집합
S
⊆
Σ
{\displaystyle {\mathcal {S}\subseteq \Sigma }
에 대하여, 만약
|
S
|
<
κ
{\displaystyle |{\mathcal {S}|<\kappa }
라면,
μ
(
⋁
S
)
=
∑
μ
[
S
]
{\displaystyle \textstyle \mu (\bigvee {\mathcal {S})=\sum \mu [{\mathcal {S}]}
.
(특히,
κ
≥
1
{\displaystyle \kappa \geq 1}
일 때,
S
=
∅
{\displaystyle {\mathcal {S}=\varnothing }
일 경우
μ
(
⊥
Σ
)
=
0
{\displaystyle \textstyle \mu (\bot _{\Sigma })=0}
이다.)
(특히,
κ
≥
2
{\displaystyle \kappa \geq 2}
일 때, 임의의
A
≤
B
{\displaystyle A\leq B}
에 대하여
μ
(
B
)
=
μ
(
A
)
+
μ
(
B
∧
¬
A
)
≥
μ
(
A
)
{\displaystyle \mu (B)=\mu (A)+\mu (B\land \lnot A)\geq \mu (A)}
이므로,
μ
{\displaystyle \mu }
는 증가 함수 이다.)
여기서
[
0
,
∞
]
{\displaystyle [0,\infty ]}
는 음이 아닌 확장된 실수 의 전순서 집합 이며,
⋁
{\displaystyle \textstyle \bigvee }
는 상한 을 뜻하며,
⊥
Σ
{\displaystyle \bot _{\Sigma }
은 시그마 대수의 최소 원소 이다.
만약
2
<
κ
≤
ℵ
0
{\displaystyle 2<\kappa \leq \aleph _{0}
일 경우,
μ
{\displaystyle \mu }
를 유한 가법 측도 (有限加法測度, 영어 : finitely additive measure )라고 한다. 만약
κ
=
ℵ
1
{\displaystyle \kappa =\aleph _{1}
인 경우,
ℵ
1
{\displaystyle \aleph _{1}
-완비 불 대수 를 시그마 대수 라고 하며,
μ
{\displaystyle \mu }
를 가산 가법 측도 (加算加法測度, 영어 : countably additive measure ) 또는 시그마 가법 측도 (σ加法測度, 영어 : sigma-additive measure ) 또는 단순히 측도 라고 한다.
불 대수
B
{\displaystyle B}
위의 함수
μ
:
B
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \mu \colon B\to [0,\infty ]}
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
유한 가법 측도이다.
다음 세 조건이 성립한다.
μ
(
⊥
B
)
=
0
{\displaystyle \mu (\bot _{B})=0}
(증가성) 임의의
x
,
y
∈
B
{\displaystyle x,y\in B}
에 대하여, 만약
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
라면,
μ
(
x
)
≤
μ
(
y
)
{\displaystyle \mu (x)\leq \mu (y)}
(모듈러성) 임의의
x
,
y
∈
B
{\displaystyle x,y\in B}
에 대하여,
μ
(
x
∧
y
)
+
μ
(
x
∨
y
)
=
μ
(
x
)
+
μ
(
y
)
{\displaystyle \mu (x\land y)+\mu (x\lor y)=\mu (x)+\mu (y)}
유한 측도
κ
{\displaystyle \kappa }
-완비 불 대수
Σ
{\displaystyle \Sigma }
위의
κ
{\displaystyle \kappa }
-가법 측도
μ
{\displaystyle \mu }
에 대하여, 만약
μ
(
⊤
Σ
)
<
∞
{\displaystyle \mu (\top _{\Sigma })<\infty }
라면
μ
{\displaystyle \mu }
를 유한 측도 (有限測度, 영어 : finite measure )라고 한다. 만약
μ
(
⊤
Σ
)
=
1
{\displaystyle \mu (\top _{\Sigma })=1}
이라면
μ
{\displaystyle \mu }
를 확률 측도 라고 한다. 사실, 임의의
κ
>
ℵ
1
{\displaystyle \kappa >\aleph _{1}
에 대하여,
κ
{\displaystyle \kappa }
-가법 유한 측도는 가산 가법 유한 측도와 동치이다. 이는 유한 가법 유한 측도를 갖는 불 대수 는 가산 사슬 조건(즉, 서로소 원소들의 비가산 집합 을 갖지 않음)을 만족시키기 때문이다.[3] :24, §3.3, Theorem 5
시그마 대수
Σ
{\displaystyle \Sigma }
위의 가산 가법 측도
μ
{\displaystyle \mu }
에 대하여, 만약
⋁
S
=
⊤
Σ
{\displaystyle \bigvee {\mathcal {S}=\top _{\Sigma }
∀
S
∈
S
:
μ
(
S
)
<
∞
{\displaystyle \forall S\in {\mathcal {S}\colon \mu (S)<\infty }
|
S
|
≤
ℵ
0
{\displaystyle |{\mathcal {S}|\leq \aleph _{0}
를 만족시키는 부분 집합
S
⊆
Σ
{\displaystyle {\mathcal {S}\subseteq \Sigma }
가 존재한다면,
μ
{\displaystyle \mu }
를 시그마 유한 측도 (σ有限測度, 영어 : sigma-finite measure )라고 한다.
불 대수 위의 유한 가법 측도
μ
:
Σ
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]}
에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면,
μ
{\displaystyle \mu }
를 준유한 측도 (準有限測度, 영어 : semifinite measure )라고 한다.[4] :97, Exercise 1.12.132
임의의
S
∈
Σ
{\displaystyle S\in \Sigma }
에 대하여, 만약
μ
(
S
)
>
0
{\displaystyle \mu (S)>0}
이라면,
0
<
μ
(
T
)
<
∞
{\displaystyle 0<\mu (T)<\infty }
인
Σ
∋
T
⊆
S
{\displaystyle \Sigma \ni T\subseteq S}
가 존재한다.
완비 불 대수 위의 준유한 가산 가법 측도를 마하람 측도 (영어 : Maharam measure ) 또는 국소화 가능 측도 (영어 : localizable measure )라고 한다.[4] :97, Exercise 1.12.134
영집합의 순서 아이디얼
κ
{\displaystyle \kappa }
-완비 불 대수
Σ
{\displaystyle \Sigma }
위의 측도
μ
{\displaystyle \mu }
가 주어졌을 때, 그 영원소 (零元素, 영어 : null element )는 측도가 0인 원소이다. 그 집합을 다음과 같이 표기하자.
Null
(
Σ
,
μ
)
=
{
S
∈
Σ
:
μ
(
S
)
=
0
}
{\displaystyle \operatorname {Null} (\Sigma ,\mu )=\{S\in \Sigma \colon \mu (S)=0\}
이는
κ
{\displaystyle \kappa }
-완비 순서 아이디얼 을 이루며, 따라서 몫 대수
Σ
~
=
Σ
/
Null
(
Σ
,
μ
)
{\displaystyle {\tilde {\Sigma }=\Sigma /\operatorname {Null} (\Sigma ,\mu )}
를 정의할 수 있고,
μ
{\displaystyle \mu }
는 그 위에 잘 정의된다. 이 경우, 추가로 다음 성질이 성립한다.
∀
S
~
∈
Σ
~
:
μ
(
S
~
)
=
0
⟺
S
~
=
⊥
Σ
~
{\displaystyle \forall {\tilde {S}\in {\tilde {\Sigma }\colon \mu ({\tilde {S})=0\iff {\tilde {S}=\bot _{\tilde {\Sigma }
즉, 이 경우 자명하지 않은 영원소들을 없앨 수 있다.
측도 공간
측도 대수 (測度代數, 영어 : measure algebra )는 시그마 대수
Σ
{\displaystyle \Sigma }
와 그 위의 측도
μ
{\displaystyle \mu }
의 순서쌍
(
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (\Sigma ,\mu )}
이다.[5] :277, §9.3
가측 공간
(
X
,
Σ
)
{\displaystyle (X,\Sigma )}
에서, 가측 집합 들의 집합족
Σ
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle \Sigma \subseteq {\mathcal {P}(X)}
는 시그마 대수 를 이룬다. 측도 공간
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}
은 가측 공간
(
X
,
Σ
)
{\displaystyle (X,\Sigma )}
과
Σ
{\displaystyle \Sigma }
위의 측도
μ
{\displaystyle \mu }
의 순서쌍 이다. 만약
μ
{\displaystyle \mu }
가 확률 측도라면,
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}
를 확률 공간 이라고 한다.
연산
합측도
임의의 측도 공간들의 족
(
X
i
,
Σ
i
,
μ
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (X_{i},\Sigma _{i},\mu _{i})_{i\in I}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 분리합집합
X
=
⨆
i
∈
I
X
i
{\displaystyle X=\bigsqcup _{i\in I}X_{i}
위에 시그마 대수
Σ
=
σ
(
⨆
Σ
i
)
{\displaystyle \Sigma =\sigma \left(\bigsqcup \Sigma _{i}\right)}
를 부여하고, 그 위에 측도
μ
(
⨆
i
∈
I
S
i
)
=
∑
i
∈
I
μ
i
(
S
i
)
(
∀
i
∈
I
:
S
i
∈
Σ
i
)
{\displaystyle \mu \left(\bigsqcup _{i\in I}S_{i}\right)=\sum _{i\in I}\mu _{i}(S_{i})\qquad (\forall i\in I\colon S_{i}\in \Sigma _{i})}
를 부여할 수 있다.
곱측도
두 측도 공간
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}
,
(
X
′
,
Σ
′
,
μ
′
)
{\displaystyle (X',\Sigma ',\mu ')}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱집합
X
×
X
′
{\displaystyle X\times X'}
위에 시그마 대수
Σ
×
Σ
′
=
σ
(
{
S
×
S
′
:
S
∈
Σ
,
S
′
∈
Σ
′
}
)
{\displaystyle \Sigma \times \Sigma '=\sigma (\{S\times S'\colon S\in \Sigma ,\;S'\in \Sigma '\})}
를 부여하자. (여기서
σ
(
−
)
{\displaystyle \sigma (-)}
는 주어진 집합족으로 생성되는 최소의 시그마 대수 를 뜻한다.) 이제, 추가로
μ
{\displaystyle \mu }
와
μ
′
{\displaystyle \mu '}
이 시그마 유한 측도라면,
Σ
×
Σ
′
{\displaystyle \Sigma \times \Sigma '}
위에 다음과 같은 측도를 부여할 수 있다.
μ
×
μ
′
:
A
↦
∫
X
′
μ
(
{
x
:
(
x
,
y
)
∈
A
}
)
d
μ
′
(
y
)
=
∫
X
μ
′
(
{
y
:
(
x
,
y
)
∈
A
}
)
d
μ
(
x
)
(
A
∈
Σ
×
Σ
′
)
{\displaystyle \mu \times \mu '\colon A\mapsto \int _{X'}\mu (\{x\colon (x,y)\in A\})\,\mathrm {d} \mu '(y)=\int _{X}\mu '(\{y\colon (x,y)\in A\})\,\mathrm {d} \mu (x)\qquad (A\in \Sigma \times \Sigma ')}
시그마 유한 조건 아래, 이는 다음 항등식을 만족시키는,
Σ
×
Σ
′
{\displaystyle \Sigma \times \Sigma '}
위의 유일한 측도이다.
(
μ
×
μ
′
)
(
S
×
S
′
)
=
μ
(
S
)
μ
(
S
′
)
∀
S
∈
Σ
,
S
′
∈
Σ
′
{\displaystyle (\mu \times \mu ')(S\times S')=\mu (S)\mu (S')\qquad \forall S\in \Sigma ,\;S'\in \Sigma '}
(우변에서
0
⋅
∞
=
∞
⋅
0
=
0
{\displaystyle 0\cdot \infty =\infty \cdot 0=0}
으로 놓는다.)
그러나 만약 시그마 유한 조건이 성립하지 않는다면 위 등식이 성립하지 못할 수 있다.
성질
임의의 측도 공간
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}
에서 다음 명제들이 성립한다.
(단조성) 부분 순서 집합
(
Σ
,
≤
)
{\displaystyle (\Sigma ,\leq )}
에서 음이 아닌 확장 실수선의 전순서 집합
(
[
0
,
∞
]
,
≤
)
{\displaystyle ([0,\infty ],\leq )}
으로 가는 함수
μ
{\displaystyle \mu }
는 단조함수 이다. 즉,
S
1
,
S
2
∈
Σ
{\displaystyle S_{1},S_{2}\in \Sigma }
이며
S
1
⊂
S
2
{\displaystyle S_{1}\subset S_{2}
라면
μ
(
S
1
)
≤
μ
(
S
2
)
{\displaystyle \mu (S_{1})\leq \mu (S_{2})}
이다.
만약
S
1
,
S
2
,
⋯
∈
Σ
{\displaystyle S_{1},S_{2},\dots \in \Sigma }
라면, 다음이 성립한다.
μ
(
⋃
i
=
1
∞
S
i
)
=
lim
n
→
∞
μ
(
⋃
i
=
1
n
S
i
)
≤
∑
i
=
1
∞
μ
(
S
i
)
{\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}S_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (S_{i})}
어떤
n
{\displaystyle n}
에 대해
μ
(
⋂
i
=
1
n
S
i
)
<
∞
{\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{n}S_{i}\right)<\infty }
라면,
μ
(
⋂
i
=
1
∞
S
i
)
=
lim
n
→
∞
μ
(
⋂
i
=
1
n
S
i
)
{\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }S_{i}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu \left(\bigcap _{i=1}^{n}S_{i}\right)}
거리 구조
불 대수
Σ
{\displaystyle \Sigma }
위의 유한 가법 측도
μ
:
Σ
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
Σ
{\displaystyle \Sigma }
위에 다음과 같은 확장된 유사 거리 함수 (영어 : extended pseudometric )
d
:
Σ
×
Σ
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle d\colon \Sigma \times \Sigma \to [0,\infty ]}
를 정의할 수 있다.
d
(
A
,
B
)
=
μ
(
A
△
B
)
=
μ
(
A
∖
B
∨
B
∖
A
)
(
A
,
B
∈
Σ
)
{\displaystyle d(A,B)=\mu (A\triangle B)=\mu (A\setminus B\lor B\setminus A)\qquad (A,B\in \Sigma )}
여기서
△
{\displaystyle \triangle }
은 대칭차 이다.
증명:
자명하지 않은 유일한 조건은 삼각 부등식 이다. 임의의
A
,
B
,
C
∈
Σ
{\displaystyle A,B,C\in \Sigma }
에 대하여,
(
A
△
B
)
∨
(
B
△
C
)
=
(
A
∨
B
∨
C
)
∖
(
A
∧
B
∧
C
)
≥
A
△
C
{\displaystyle (A\triangle B)\lor (B\triangle C)=(A\lor B\lor C)\setminus (A\land B\land C)\geq A\triangle C}
이므로 (벤 다이어그램 참고)
d
(
A
,
B
)
+
d
(
B
,
C
)
≥
μ
(
(
A
△
B
)
∪
(
B
△
C
)
)
≥
d
(
A
,
C
)
{\displaystyle d(A,B)+d(B,C)\geq \mu \left((A\triangle B)\cup (B\triangle C)\right)\geq d(A,C)}
이다.
만약
μ
{\displaystyle \mu }
가 유한 측도라면, 이는 유사 거리 공간 을 이루며, 측도 대수
Σ
/
Null
(
Σ
,
μ
)
{\displaystyle \Sigma /\operatorname {Null} (\Sigma ,\mu )}
는 거리 공간 을 이룬다.
원자
불 대수
Σ
{\displaystyle \Sigma }
위의 유한 가법 측도
μ
:
Σ
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]}
가 주어졌을 때, 영원소 들의 순서 아이디얼
Null
(
Σ
,
μ
)
=
{
S
∈
Σ
:
μ
(
S
)
=
0
}
{\displaystyle \operatorname {Null} (\Sigma ,\mu )=\{S\in \Sigma \colon \mu (S)=0\}
을 생각하자.
μ
{\displaystyle \mu }
의 원자 (原子, 영어 : atom )는
Σ
∖
Null
(
Σ
,
μ
)
{\displaystyle \Sigma \setminus \operatorname {Null} (\Sigma ,\mu )}
의 극소 원소 이다. (다시 말해, 몫대수
Σ
/
Null
(
Σ
,
μ
)
{\displaystyle \Sigma /\operatorname {Null} (\Sigma ,\mu )}
의 순서론적 원자 이다.) 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 원소
S
∈
Σ
{\displaystyle S\in \Sigma }
이다.
μ
(
S
)
>
0
{\displaystyle \mu (S)>0}
임의의
S
′
<
S
{\displaystyle S'<S}
에 대하여,
μ
(
S
′
)
=
0
{\displaystyle \mu (S')=0}
원자를 갖지 않는 측도를 비원자적 측도 (非原子的測度, 영어 : nonatomic measure )라고 한다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
Σ
{\displaystyle \Sigma }
는 (추상적) 시그마 대수 이다.
μ
:
Σ
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]}
는 그 위의 비원자적 가산 가법 측도이다. 또한,
μ
(
⊤
Σ
)
>
0
{\displaystyle \mu (\top _{\Sigma })>0}
이다.
그렇다면, 비원자적 측도에 대한 중간값 정리 (영어 : intermediate-value theorem for nonatomic measures )에 따르면, 다음 두 조건을 만족시키는 함수
f
:
[
0
,
μ
(
⊤
Σ
)
]
→
Σ
{\displaystyle f\colon [0,\mu (\top _{\Sigma })]\to \Sigma }
가 존재한다.
f
{\displaystyle f}
는 증가 함수 이다. 즉, 임의의
0
≤
a
≤
b
≤
μ
(
⊤
Σ
)
{\displaystyle 0\leq a\leq b\leq \mu (\top _{\Sigma })}
에 대하여
f
(
a
)
≤
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)\leq f(b)}
이다.
f
{\displaystyle f}
는
μ
{\displaystyle \mu }
의 오른쪽 역함수 이다. 즉, 임의의
a
∈
[
0
,
μ
(
⊤
Σ
)
]
{\displaystyle a\in [0,\mu (\top _{\Sigma })]}
에 대하여
μ
(
f
(
a
)
)
=
a
{\displaystyle \mu (f(a))=a}
이다.
증명:
증명은 다음과 같다.
① 어떤 부분 정의 함수 들의 부분 순서 집합
Γ
{\displaystyle \Gamma }
는 극대 원소
f
max
{\displaystyle f_{\max }
를 갖는다.
② 그 정의역
dom
f
max
{\displaystyle \operatorname {dom} f_{\max }
은 조밀 순서 집합이다.
③
dom
f
max
=
[
0
,
μ
(
⊤
Σ
)
]
{\displaystyle \operatorname {dom} f_{\max }=[0,\mu (\top _{\Sigma })]}
이다.
① 부분 정의 함수 들의 집합
Γ
⊆
⨆
D
⊆
[
0
,
μ
(
⊤
Σ
)
]
Σ
D
{\displaystyle \Gamma \subseteq \bigsqcup _{D\subseteq [0,\mu (\top _{\Sigma })]}\Sigma ^{D}
이 정의에 등장하는 두 조건을 만족시키는 (즉, 증가 함수 이며
μ
{\displaystyle \mu }
의 오른쪽 역함수 인) 부분 정의 함수 들로 구성되었다고 하자. 이 위에 통상적인 부분 순서
f
≤
f
′
⟺
(
D
⊆
D
′
)
∧
(
f
=
f
′
↾
D
)
(
f
∈
Σ
D
,
f
′
∈
Σ
D
′
)
{\displaystyle f\leq f'\iff (D\subseteq D')\land (f=f'\upharpoonright D)\qquad (f\in \Sigma ^{D},\;f'\in \Sigma ^{D'})}
를 주자. 그렇다면,
Γ
{\displaystyle \Gamma }
는 닫힌 부분 순서 집합 임을 쉽게 확인할 수 있으며, 초른 보조정리 에 의하여 극대 원소
f
max
∈
Γ
{\displaystyle f_{\max }\in \Gamma }
를 갖는다.
② 귀류법 을 사용하여, 임의의
a
,
b
∈
dom
f
max
{\displaystyle a,b\in \operatorname {dom} f_{\max }
에 대하여,
a
<
b
{\displaystyle a<b}
이며
(
a
,
b
)
⊆
[
0
,
μ
(
⊤
Σ
)
]
∖
dom
f
max
{\displaystyle (a,b)\subseteq [0,\mu (\top _{\Sigma })]\setminus \operatorname {dom} f_{\max }
라고 하자. 그렇다면,
f
(
b
)
∧
¬
f
(
a
)
∈
Σ
{\displaystyle f(b)\land \lnot f(a)\in \Sigma }
는
μ
{\displaystyle \mu }
의 원자가 되어 가정에 모순된다.
③ 귀류법 을 사용하여,
C
=
[
0
,
μ
(
⊤
Σ
)
]
∖
dom
f
max
≠
∅
{\displaystyle C=[0,\mu (\top _{\Sigma })]\setminus \operatorname {dom} f_{\max }\neq \varnothing }
이라고 하자.
C
{\displaystyle C}
속에 포함되는 열린구간 들의 족은 초른의 보조 정리 에 의하여 극대 원소
(
a
,
b
)
⊆
C
{\displaystyle (a,b)\subseteq C}
를 갖는다. 극대 원소 의 정의에 따라,
a
{\displaystyle a}
로 수렴하는 증가 수열
a
0
,
a
1
,
⋯
∈
[
0
,
a
]
∩
dom
f
max
{\displaystyle a_{0},a_{1},\dots \in [0,a]\cap \operatorname {dom} f_{\max }
과
b
{\displaystyle b}
로 수렴하는 감소 수열
b
0
,
b
1
,
⋯
∈
[
b
,
μ
(
⊤
Σ
)
]
∩
dom
f
max
{\displaystyle b_{0},b_{1},\dots \in [b,\mu (\top _{\Sigma })]\cap \operatorname {dom} f_{\max }
가 존재한다. 이제,
S
−
=
⋁
i
=
0
∞
f
(
a
i
)
∈
Σ
{\displaystyle S_{-}=\bigvee _{i=0}^{\infty }f(a_{i})\in \Sigma }
S
+
=
⋀
i
=
0
∞
f
(
b
i
)
∈
Σ
{\displaystyle S_{+}=\bigwedge _{i=0}^{\infty }f(b_{i})\in \Sigma }
를 정의하면,
a
≤
μ
(
S
−
)
≤
μ
(
S
+
)
≤
b
{\displaystyle a\leq \mu (S_{-})\leq \mu (S_{+})\leq b}
가 되므로,
{
μ
(
S
−
)
,
μ
(
S
+
)
}
⊆
dom
f
max
{\displaystyle \{\mu (S_{-}),\mu (S_{+})\}\subseteq \operatorname {dom} f_{\max }
이며, ②에 따라
c
∈
(
μ
(
S
−
)
,
μ
(
S
+
)
)
∩
dom
f
max
⊆
C
∩
dom
f
max
=
∅
{\displaystyle c\in (\mu (S_{-}),\mu (S_{+}))\cap \operatorname {dom} f_{\max }\subseteq C\cap \operatorname {dom} f_{\max }=\varnothing }
가 존재하는데, 이는 모순이다.
따라서, 이러한
Σ
{\displaystyle \Sigma }
의 크기 는
2
ℵ
0
{\displaystyle 2^{\aleph _{0}
이상이며, 만약 어떤 집합
X
{\displaystyle X}
에 대하여
Σ
⊆
Pow
(
X
)
{\displaystyle \Sigma \subseteq \operatorname {Pow} (X)}
라면
X
{\displaystyle X}
의 크기 역시
2
ℵ
0
{\displaystyle 2^{\aleph _{0}
이상이다.
분류
가산 가법 측도 대수
μ
:
Σ
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]}
가 다음 조건을 만족시킨다면 동질 측도 대수 (同質測度代數, 영어 : homogeneous measure algebra )라고 한다.
임의의 두
S
,
T
∈
Σ
{\displaystyle S,T\in \Sigma }
에 대하여, 만약
μ
(
S
)
,
μ
(
T
)
>
0
{\displaystyle \mu (S),\mu (T)>0}
일 경우,
wt
(
μ
↾↓
{
S
}
)
=
wt
(
μ
↾↓
{
T
}
)
{\displaystyle \operatorname {wt} (\mu \upharpoonright \downarrow \{S\})=\operatorname {wt} (\mu \upharpoonright \downarrow \{T\})}
이다.
여기서
wt
{\displaystyle \operatorname {wt} }
는 (유사 거리 공간 으로서의) 무게 이며,
↓
{\displaystyle \downarrow }
는 하집합 을 뜻하며,
↾
{\displaystyle \upharpoonright }
은 하집합 에 제한하여 얻는 측도 대수를 뜻한다.
마하람 정리 (영어 : Maharam’s theorem )에 따르면, 다음이 성립한다.
모든 가산 가법 측도 대수는 가산 개의 동질 측도 대수들의 직합이다.[5] :280, Theorem 9.3.5(i) [6] :109, Theorem 1
모든 동질 측도 대수에 대하여, 만약 확률 측도 대수라면, 어떤 기수
κ
{\displaystyle \kappa }
에 대하여
P
(
κ
)
{\displaystyle P(\kappa )}
와 동형이다.[5] :280, Theorem 9.3.5(ii) [6] :111, Theorem 2
여기서,
P
(
κ
)
{\displaystyle P(\kappa )}
는 곱공간
[
0
,
1
]
κ
{\displaystyle [0,1]^{\kappa }
의 측도 대수이다. 즉, 닫힌구간
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
위에 르베그 측도 를 부여한 뒤,
κ
{\displaystyle \kappa }
개의 곱측도를 취하고, 영집합 시그마 아이디얼 에 대한 몫을 취하여 얻는 측도 대수이다.
예
집합 위의 측도
임의의 불 대수
B
{\displaystyle B}
위에서, 값 0을 갖는 상수 함수 는 항상 유한 가법 측도를 이루며, 만약
B
{\displaystyle B}
가
κ
{\displaystyle \kappa }
-완비 불 대수 라면 이는
κ
{\displaystyle \kappa }
-가법 측도이다.
셈측도 는 집합의 원소 개수를 의미하는 측도이다. 이는 유한 집합 위에 사용되는 통상적인 측도이다.
디랙 측도 (영어 : Dirac measure )는 집합에 특정 원소가 포함되는지에만 값이 결정된다. 어떠한 원소
a
∈
X
{\displaystyle a\in X}
에 대해, 디랙 측도
δ
a
(
E
)
{\displaystyle \delta _{a}(E)}
는
E
{\displaystyle E}
에
a
{\displaystyle a}
가 포함되면 1, 그렇지 않으면 0의 값을 가진다. 즉, 지시 함수
1
E
(
a
)
{\displaystyle \mathbf {1} _{E}(a)}
로 표현할 수 있다. 디랙 측도는 디랙 델타 함수 를 측도로 표현한 것으로 볼 수 있다.
집합론 에서는 측정 측도가 존재할 수 있는 기수 를 가측 기수 라고 한다.
불 대수
B
{\displaystyle B}
위의 극대 필터
U
⊆
B
{\displaystyle U\subseteq B}
가 주어졌을 때, 다음과 같은 유한 가법 확률 측도 를 정의할 수 있다.
μ
(
b
)
=
{
1
b
∈
B
0
b
∉
B
{\displaystyle \mu (b)={\begin{cases}1&b\in B\\0&b\not \in B\end{cases}
위상 공간
임의의 거리 공간 위에는 하우스도르프 측도 라는 측도가 존재한다.
유클리드 공간 위에는 통상적으로 르베그 측도 가 사용된다.
위상군 위에는 하르 측도 라는 측도가 존재한다.
역사
1898년 저서[7] 에서 에밀 보렐 은 구간 의 길이의 개념을 가산 가법성을 사용하여 실수선의 보렐 집합 에 대하여 일반화하였다. 즉, 현대적인 용어로 보렐은 실수선의 보렐 집합 의 르베그 측도 를 정의하였다.
이후 1902년 박사 학위 논문[8] 에서 앙리 르베그 는 보렐의 이론을 간략화·일반화하였으며, 고차원 유클리드 공간 의 르베그 측도 를 정의하였고, 이를 통하여 함수의 적분 이론을 전개하였다.
각주
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↑ 가 나 다 Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume 2》 (영어). Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-540-34514-5 . ISBN 978-3-540-34513-8 .
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