Delta funkcija

Delta funkciju (${\displaystyle \delta \ }$ funkciju) fizikā izmanto, lai raksturotu diskrētu punktveida lādiņu izvietojumu telpā. Šo funkciju teorētiskajā fizikā pirmais sāka izmantot ievērojamais angļu fiziķis Pols Adriens Moriss Diraks, viens no kvantu mehānikas pamatlicējiem. Tādēļ delta funkciju dažreiz sauc arī par Diraka delta funkciju. Tā pieder pie vispārinātajām funkcijām; tā nav nepārtraukta un diferencējama šo jēdzienu parastajā nozīmē. Tā ir ērta, ja, piemēram, jāaprēķina materiālo punktu sistēmu raksturojošie integrālie lielumi (pilnais lādiņš, elektriskā lauka intensitāte utt.).

Pieņemsim, ka uz ${\displaystyle x\ }$ ass punktā ${\displaystyle x_{0}\ }$ atrodas punktveida lādiņš ${\displaystyle q\ }$. Visos ${\displaystyle x\ }$ ass punktos lādiņa blīvums ${\displaystyle \rho (x)=0\ }$, izņemot punktu ${\displaystyle x=x_{0}\ }$, kurā tas ir bezgalīgi liels, jo punktam nav tilpuma.

Lai gan funkcija ${\displaystyle \rho (x)\ }$ nav nepārtraukta, to var izteikt matemātiski šādi:

${\displaystyle \rho (x)=q\delta (x-x_{0})\ }$

kur

${\displaystyle \delta (x-x_{0})={\begin{cases}\ 0,&x\neq x_{0}\\\infty ,&x=x_{0}\end{cases}\ }$

Vēl jāizpildās šādam nosacījumam:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\delta (x-x_{0})\mathrm {d} x=1\ }$,

kurš nepieciešams, lai iegūtu galīgu lielumu ${\displaystyle q\ }$.

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\rho (x)\mathrm {d} x=q\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (x-x_{0})\mathrm {d} x=q\ }$

Situācija ir līdzīga, ja uz ${\displaystyle x\ }$ ass diskrētos punktos ${\displaystyle x_{i}\ }$ izvietoti ${\displaystyle n\ }$ punktveida lādiņi ${\displaystyle q_{i}\ }$ un sistēmas pilnais lādiņš ir ${\displaystyle q=\sum _{i=1}^{n}q_{i}\ }$. Arī šādu lādiņu izvietojumu var izteikt ar ${\displaystyle \delta \ }$ funkcijām ${\displaystyle \delta (x-x_{i})\ }$.

${\displaystyle \rho (x)=\sum _{i=1}^{n}q_{i}\delta (x-x_{i})\ }$

Un līdz ar to

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\rho (x)\mathrm {d} x=\sum _{i=1}^{n}q_{i}\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (x-x_{i})\mathrm {d} x=\sum _{i=1}^{n}q_{i}=q\ }$

• Kronekera delta