Обратные гиперболические функции

Обра́тные гиперболи́ческие фу́нкции (известные также как а̀реафу́нкции или ареа-функции) — семейство элементарных функций, определяющихся как обратные функции к гиперболическим функциям. Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы x² − y² = 1 аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют длину дуги единичной окружности x² + y² = 1. Для этих функций часто используются обозначения arcsinh, arcsh, arccosh, arcch и т. д., хотя такие обозначения являются, строго говоря, ошибочными, так как префикс arc является сокращением от arcus (дуга) и потому относится только к обратным тригонометрическим функциям, тогда как ar обозначает area — площадь. Более правильными являются обозначения arsinh, arsh и т. д. и названия обратный гиперболический синус, ареасинус и т. д. Также применяют^[1] названия гиперболический ареасинус, гиперболический ареакосинус и т. д., но слово «гиперболический» здесь является лишним, поскольку на принадлежность функции семейству обратных гиперболических функций однозначно указывает префикс «ареа». Иногда названия соответствующих функций записывают через дефис: ареа-синус, ареа-косинус и т. д.

В комплексной плоскости гиперболические функции являются периодическими, а обратные им функции — многозначными. Поэтому подобно обратным тригонометрическим функциям обозначения ареафункций принято записывать с большой буквы, если подразумевается множество значений функции (логарифм в соответствующем определении функции также понимается как общее значение логарифма, обозначаемое Ln). С маленькой буквы записываются главные значения соответствующих функций.

В русской литературе обозначения большинства прямых и обратных гиперболических функций (так же как и части тригонометрических) отличаются от английских обозначений.

В комплексной плоскости главные значения функций можно определить формулами:

• ареасинус

${\displaystyle \operatorname {arsh} \,z=\ln(z+{\sqrt {z^{2}+1}\,);}$

• ареакосинус

${\displaystyle \operatorname {arch} \,z=\ln(z+{\sqrt {z^{2}-1});}$

• ареатангенс

${\displaystyle \operatorname {arth} \,z={\tfrac {1}{2}\ln \left({\frac {1+z}{1-z}\right);}$

• ареакотангенс

${\displaystyle \operatorname {arcth} \,z={\tfrac {1}{2}\ln \left({\frac {z+1}{z-1}\right);}$

• ареасеканс

${\displaystyle \operatorname {arsech} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}+{\sqrt {\frac {1}{z^{2}-1}\right);}$

• ареакосеканс

${\displaystyle \operatorname {arcsch} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}+{\sqrt {\frac {1}{z^{2}+1}\,\right).}$

Квадратными корнями в этих формулах являются главные значения квадратного корня (то есть ${\displaystyle {\sqrt {z}={\sqrt {r}\,e^{i\varphi /2},}$ если представить комплексное число z как ${\displaystyle z=re^{i\varphi }$ при ${\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }$), а логарифмические функции являются функциями комплексной переменной. Для действительных аргументов можно осуществить некоторые упрощения, например ${\displaystyle {\sqrt {x+1}{\sqrt {x-1}={\sqrt {x^{2}-1},}$ которые не всегда верны для главных значений квадратных корней.

Обратные гиперболические функции можно разложить в ряды:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsh} \,x&=x-\left({\frac {1}{2}\right){\frac {x^{3}{3}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}\right){\frac {x^{5}{5}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right){\frac {x^{7}{7}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n-1)!!}{(2n)!!}\right){\frac {x^{2n+1}{(2n+1)},\qquad \left|x\right|<1.\end{aligned}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arch} \,x&=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}\right){\frac {x^{-2}{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}\right){\frac {x^{-4}{4}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right){\frac {x^{-6}{6}+\cdots \right)\\&=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}\right){\frac {x^{-2n}{(2n)},\qquad x>1.\end{aligned}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arth} \,x&=x+{\frac {x^{3}{3}+{\frac {x^{5}{5}+{\frac {x^{7}{7}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}{(2n+1)},\qquad \left|x\right|<1.\end{aligned}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsh} {\frac {1}{x}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}\right){\frac {x^{-3}{3}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}\right){\frac {x^{-5}{5}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right){\frac {x^{-7}{7}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}\right){\frac {x^{-(2n+1)}{(2n+1)},\qquad \left|x\right|>1.\end{aligned}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arch} {\frac {1}{x}&=\ln {\frac {2}{x}-\left(\left({\frac {1}{2}\right){\frac {x^{2}{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}\right){\frac {x^{4}{4}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right){\frac {x^{6}{6}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}\right){\frac {x^{2n}{2n},\qquad 0<x\leq 1.\end{aligned}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcth} \,x=\operatorname {arth} {\frac {1}{x}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}{3}+{\frac {x^{-5}{5}+{\frac {x^{-7}{7}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}{(2n+1)},\qquad \left|x\right|>1.\end{aligned}$

Асимптотическое разложение arsh x даётся формулой

${\displaystyle \operatorname {arsh} \,x=\ln 2x+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}{\frac {1}{x^{2n}.}$

Функция ${\displaystyle f(x)}$	Производная ${\displaystyle f'(x)}$	Примечание
${\displaystyle \mathrm {arsh} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}$	Доказательство                                  ${\displaystyle (arsh(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}+1})})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}\cdot (x+{\sqrt {x^{2}+1})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}+1})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}\cdot (1+({\sqrt {x^{2}+1})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}\cdot (1+{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+1}\cdot (x^{2}+1)')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1})={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}{\sqrt {x^{2}+1})={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}{(x+{\sqrt {x^{2}+1})\cdot ({\sqrt {x^{2}+1})}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}$
${\displaystyle \mathrm {arch} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}$	Доказательство                                  ${\displaystyle (arch(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1})})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}\cdot (x+{\sqrt {x^{2}-1})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}-1})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}\cdot (1+({\sqrt {x^{2}-1})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}\cdot (1+{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}-1}\cdot (x^{2}-1)')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}-1})={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}{\sqrt {x^{2}-1})={\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}{(x+{\sqrt {x^{2}-1})\cdot ({\sqrt {x^{2}-1})}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}$
${\displaystyle \mathrm {arth} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}$	Доказательство                                  ${\displaystyle ({\displaystyle \mathrm {arth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2}\cdot \ln {\biggl (}{\frac {1+x}{1-x}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}\cdot {\frac {1-x}{1+x}\cdot {\biggl (}{\frac {1+x}{1-x}{\biggl )}'={\frac {1}{2}\cdot {\frac {1-x}{1+x}\cdot {\frac {(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^{2}={\frac {1}{2}\cdot {\frac {1-x}{1+x}\cdot {\frac {2}{(1-x)^{2}={\frac {1}{1-x^{2}$
${\displaystyle \mathrm {arcth} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}$	Доказательство                                  ${\displaystyle ({\displaystyle \mathrm {arcth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2}\cdot \ln {\biggl (}{\frac {x+1}{x-1}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}\cdot {\frac {x-1}{x+1}\cdot {\biggl (}{\frac {x+1}{x-1}{\biggl )}'={\frac {1}{2}\cdot {\frac {x-1}{x+1}\cdot {\frac {(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2}={\frac {1}{2}\cdot {\frac {x-1}{x+1}\cdot {\frac {-2}{(x-1)^{2}={\frac {1}{1-x^{2}$
${\displaystyle \mathrm {arsech} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {\frac {1-x}{1+x}$
${\displaystyle \mathrm {arcsch} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}$

Для действительных x:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}\operatorname {arsech} \,x&{}=\mp {\frac {1}{x\,{\sqrt {1-x^{2};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0.\\{\frac {d}{dx}\operatorname {arcsch} \,x&{}=\mp {\frac {1}{x\,{\sqrt {1+x^{2};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0.\end{aligned}$

Пример дифференцирования: если θ = arsh x, то:

${\displaystyle {\frac {d\,\operatorname {arsh} \,x}{dx}={\frac {d\theta }{d\operatorname {sh} \theta }={\frac {1}{\operatorname {ch} \theta }={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}\theta }={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sh} (\operatorname {arch} \,x)={\sqrt {x^{2}-1},\quad \quad |x|>1;\\&\operatorname {sh} (\operatorname {arth} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2},\quad \quad -1<x<1;\\&\operatorname {ch} (\operatorname {arsh} \,x)={\sqrt {1+x^{2};\\&\operatorname {ch} (\operatorname {arth} \,x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2},\quad \quad -1<x<1;\\&\operatorname {th} (\operatorname {arsh} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2};\\&\operatorname {th} (\operatorname {arch} \,x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}{x},\quad \quad |x|>1.\end{aligned}$

${\displaystyle \operatorname {arsh} \;u\pm \operatorname {arsh} \;v=\operatorname {arsh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}\pm v{\sqrt {1+u^{2}\right).}$

${\displaystyle \operatorname {arch} \;u\pm \operatorname {arch} \;v=\operatorname {arch} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}\right).}$

${\displaystyle \operatorname {arth} \;u\pm \operatorname {arth} \;v=\operatorname {arth} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}\right).}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsh} \;u+\operatorname {arch} \;v&=\operatorname {arsh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}\right)\\&=\operatorname {arch} \left(v{\sqrt {1+u^{2}+u{\sqrt {v^{2}-1}\right).\end{aligned}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {arch} x&=\operatorname {arch} (2x^{2}-1),&\quad \quad x\geq 1;\\4\operatorname {arch} x&=\operatorname {arch} (8x^{4}-8x^{2}+1),&\quad \quad x\geq 1;\\2\operatorname {arsh} x&=\operatorname {arch} (2x^{2}+1),&\quad \quad x\geq 0;\\4\operatorname {arsh} x&=\operatorname {arch} (8x^{4}+8x^{2}+1),&\quad \quad x\geq 0.\\\end{aligned}$

• Гиперболические функции
• Обратные тригонометрические функции
• Таблица интегралов обратных гиперболических функций

• Herbert Busemann, Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics, с. 207, Academic Press.

• Inverse hyperbolic functions на сайте MathWorld
• Inverse hyperbolic functions