Operátor nabla

Operátor nabla (iné názvy: nabla, operátor del, del, Hamiltonov operátor, Hamiltonov operátor nabla, hamiltonián) je diferenciálny operátor vo vektorovej analýze. Označuje sa symbolom nabla ${\displaystyle \nabla }$ alebo ${\displaystyle {\vec {\nabla }$ (v anglosaských krajinách ${\displaystyle {\underline {\nabla }$), aby sa vyjadrila jeho podobnosť s vektorom. Meno nabla je odvodené od názvu hebrejského strunového nástroja, ktorý mal zhruba tento tvar.

Nabla sa používa na skrátený zápis matematických operátorov ako gradient, divergencia, rotácia a iných.

V n-rozmernom priestore Rⁿ vytvára ∇ všetky parciálne derivácie funkcie Rⁿ podľa R, čo je presne gradient funkcie f.

Ako n-vektor má nabla tvar: ${\displaystyle {\nabla }\equiv \left({\frac {\partial }{\partial x_{1},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}\right)}$

Svojim diferenciálnym charakterom pôsobí operátor napravo (teda na symboly stojace napravo od neho), pričom sa prejavuje jeho vektorový charakter.

V tenzorovej analýze sa operátor nabla ukázal byť dôležitým príkladom kovariantného tenzoru.

Operátor sa označuje aj ako Hamiltonov operátor (pozor na zámenu s pojmom hamiltonián), pretože ho ako prvý používal sir William Rowan Hamilton.

Nasledujúce pravidlá platia pre (vo fyzike najobvyklejší) trojdimenzionálny euklidovský priestor R³ s pravouhlými súradnicami x, y a z.

• Aplikáciou na skalárne pole ${\displaystyle {\begin{matrix}\Phi (x,y,z)\end{matrix}$ dostávame gradient tohto skalárneho poľa:

${\displaystyle \operatorname {grad\ } \Phi =\nabla \Phi =\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x},{\frac {\partial \Phi }{\partial y},{\frac {\partial \Phi }{\partial z}\right)={\frac {\partial \Phi }{\partial x}\mathbf {e} _{x}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}\mathbf {e} _{y}+{\frac {\partial \Phi }{\partial z}\mathbf {e} _{z},}$

kde ${\displaystyle \mathbf {e} _{x},\ \mathbf {e} _{y},\ \mathbf {e} _{z}$ sú jednotkové vektory priestoru R³.

• Skalárnym súčinom nably s vektorovým poľom ${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {V} (x,y,z)\end{matrix}$ dostávame divergenciu tohto poľa:

${\displaystyle \operatorname {div\ } \mathbf {V} ={\nabla }\cdot \mathbf {V} ={\frac {\partial V_{x}{\partial x}+{\frac {\partial V_{y}{\partial y}+{\frac {\partial V_{z}{\partial z}.}$

• Rotáciu vektorového poľa ${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {V} (x,y,z)\end{matrix}$ potom získame vektorovým súčinom ${\displaystyle \nabla }$ s týmto poľom.

${\displaystyle \operatorname {rot\ } \mathbf {V} ={\nabla }\times \mathbf {V} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial V_{z}{\partial y}-{\frac {\partial V_{y}{\partial z}\\{\frac {\partial V_{x}{\partial z}-{\frac {\partial V_{z}{\partial x}\\{\frac {\partial V_{y}{\partial x}-{\frac {\partial V_{x}{\partial y}\\\end{pmatrix}.}$

Ďalej potom pre ľubovolné skalárne pole φ, ψ a f a vektorové polia A a B platia nasledujúce operácie:

${\displaystyle \nabla (\psi \varphi )=\psi \nabla \varphi +\varphi \nabla \psi }$

${\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )}$

${\displaystyle \nabla f(r)={\frac {df}{dr}{\frac {\mathbf {r} }{r}$

${\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \mathbf {A} )=\varphi \nabla \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \nabla \varphi }$

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=\mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )-\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )}$

${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \varphi \equiv \Delta \varphi }$ (pozri aj Laplaceov operátor)

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=\mathbf {0} }$

${\displaystyle \nabla \times \varphi \mathbf {A} =\varphi \nabla \times \mathbf {A} -\mathbf {A} \times \nabla \varphi }$

${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=(\mathbf {B} \nabla )\mathbf {A} -\mathbf {B} (\nabla \mathbf {A} )+\mathbf {A} (\nabla \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \nabla )\mathbf {B} }$

${\displaystyle \nabla \times \nabla \varphi =\mathbf {0} }$

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\Delta \mathbf {A} }$