Група кіс

Група кіс^[1]^[2] — група, що абстрактно описує плетіння кіс. Подібним чином теорія вузлів пов'язана з вузлами.

Групу кіс на $n$ нитках зазвичай позначають $B n$ .

Історія

Групу кіс уперше явно описав Еміль Артін 1925 року.^[3]

Інтуїтивний опис

Розглянемо випадок n = 4, з цього прикладу легко буде зрозуміти, що являє собою довільна група кіс. Розглянемо дві паралельні прямі (на малюнку вони розташовані вертикально), на кожній з яких лежить по чотири пронумеровані точки, так що точки з однаковими номерами знаходяться одна проти одної. Розіб'ємо точки на пари і за допомогою ниток з'єднаємо їх. Якщо зобразити картинку на площині, деякі нитки можуть під іншими (можна вважати, що нитки завжди перетинаються трансверсально). При цьому важливо враховувати порядок проходження ниток у точці перетину:

відрізняється від

З іншого боку, дві такі конфігурації, які можна зробити однаковими, переміщенням ниток, що не зачіпає кінцеві точки, ми вважатимемо однаковими:

не відрізняється від

Всі нитки повинні бути напрямлені зліва направо, тобто кожна з ниток може перетинати вертикальну пряму (паралельну до прямих з пронумерованими точками) не більше ніж в одній точці:

не є косою.

Для двох кіс можна розглянути їх композицію, намалювавши другу поряд з першою, тобто склеївши відповідні чотири пари кінцевих точок:

×

=

Множину всіх кіс із 4 ниток позначають $B 4$ . Описане з'єднання ниток є груповою операцією.

Група $B 4$ — це фактор-множина всіх таких конфігурацій на чотирьох парах точок за відношенням еквівалентності, заданим неперервними перетвореннями площини, на якому зазначеним вище способом задано групову операцію. Ця операція задовольняє всім аксіомам групи; зокрема, нейтральний елемент — клас еквівалентності чотирьох паралельних ниток і для кожного елемента обернений до нього можна отримати симетрією відносно вертикальної прямої.

Визначення

Строго формалізувати наведений вище опис можна кількома способами:

Геометричний спосіб використовує поняття гомотопії, а саме, $B n$ визначається як фундаментальна група простору $n$ -точкових підмножин на площині з природною топологією.
Також можна дати чисто алгебраичний опис, задавши твірні і співвідношення.
- Наприклад, $B n$ можна задати $(n - 1)$ твірною і ${\tfrac {n\cdot (n-1)}{2$ співвідношеннями:
  $B_{n}=\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\ \mid \ \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\ {\text{при}\ 1\leq i\leq n-2\ {\text{і}\ \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{для}\ |i-j|\geq 2\rangle :$

Зокрема, будь-який елемент $B 4$ можна записати як композицію таких трьох елементів (і обернених до них):


σ₁	σ₂	σ₃

Щоб зрозуміти, чому це інтуїтивно очевидно, «проскануємо» картинку, переміщуючи вертикальну пряму зліва направо. Кожен раз, коли $i$ -а зверху (на даній прямій) нитка проходить під $(i + 1)$ -ю, будемо писати $σ i$ , а якщо над $(i + 1)$ -ю, то $σ i -1$ .

Очевидно, що виконується співвідношення $σ 1 σ 3 = σ 3 σ 1$ , тоді як трохи складніше побачити, що $σ 1 σ 2 σ 1 = σ 2 σ 1 σ 2$ (переконатися в цьому найпростіше, намалювавши лінії на аркуші паперу).

Можна довести, що всі співвідношення між елементами групи кіс випливають зі співвідношень такого вигляду.

Властивості

Група $B 1$ тривіальна, $B 2$ нескінченна (як і всі наступні групи кіс) і ізоморфна Z, $B 3$ ізоморфна групі вузла трилисника.
Всі елементи $B n$ , крім нейтрального, мають нескінченний порядок; тобто $B n$ не має кручення.
Існує сюр'єктивний гомоморфізм B_n → S_n з групи кіс у групу перестановок. Дійсно, кожному елементу групи B_n можна зіставити перестановку множини n вершин, за якої лівому кінцю кожної «нитки» зіставляється правий її кінець.
- Ядро цього гомоморфізму називається групою фарбованих кіс, вона зазвичай позначається $P_{n$ .
- Для груп фарбованих кіс існує коротка точна послідовність
  $F_{n-1}\to P_{n}\to P_{n-1},$
де $F_{n-1$ позначає вільну групу з $n-1$ твірною.

Групу кіс можна визначити як групу класів відображень диска з виколотими точками. Точніше, група кіс із n нитками природним чином ізоморфна групі класів перетворень диска n виколотими точками.

Примітки

↑ Волошина Т.В. Групи кіс, способи їх задання та застосування / Т.В. Волошина, Б.Б. Кочулап // Збірник тез IX Міжнародної науково-практичної конференції «Математика. Інформаційні технології. Освіта». – Луцьк, 2020. – С. 11-13.
↑ Робоча програма навчальної дисципліни "Екзотичні статистики"
↑ Artin E. Theorie der Zopfe, Abh. Math. Sem. Hamburg Univ. 4(1925), 47-72.

Література

Deligne, Pierre (1972), Les immeubles des groupes de tresses généralisés, Inventiones Mathematicae, 17 (4): 273—302, doi:10.1007/BF01406236, ISSN 0020-9910, MR 0422673
Birman, Joan, and Brendle, Tara E., «Braids: A Survey», revised 26 February 2005. In Menasco and Thistlethwaite.
Carlucci, Lorenzo; Dehornoy, Patrick; and Weiermann, Andreas, «Unprovability results involving braids» [Архівовано 5 жовтня 2018 у Wayback Machine.], 23 November 2007
Kassel, Christian; and Turaev, Vladimir, Braid Groups, Springer, 2008. ISBN 0-387-33841-1
Menasco, W., and Thistlethwaite, M., (editors), Handbook of Knot Theory, Amsterdam: Elsevier, 2005. ISBN 0-444-51452-X

Посилання

CRAG: CRyptography and Groups на Algebraic Cryptography Center Містить велику бібліотеку для обчислень за допомогою груп кіс
P. Fabel, Completing Artin's braid group on infinitely many strands, Journal of Knot Theory and its Ramifications, Vol. 14, No. 8 (2005) 979—991
P. Fabel, The mapping class group of a disk with infinitely many holes, Journal of Knot Theory and its Ramifications, Vol. 15, No. 1 (2006) 21-29
Chernavskii, A.V. (2001), «Braid theory», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Java-застосунок [Архівовано 4 червня 2013 у Wayback Machine.], що моделює групу B₅.
C. Nayak і F. Wilczek про зв'язок проективних груп кіс з дробовим квантовим ефектом Холла[1] [Архівовано 5 жовтня 2018 у Wayback Machine.]
Презентація C. V. Nayak для FradkinFest[2]
Критика N. Read'ом реальності репрезентації Wilczek-Nayak[3] [Архівовано 5 жовтня 2018 у Wayback Machine.]

[1] Волошина Т.В. Групи кіс, способи їх задання та застосування / Т.В. Волошина, Б.Б. Кочулап // Збірник тез IX Міжнародної науково-практичної конференції «Математика. Інформаційні технології. Освіта». – Луцьк, 2020. – С. 11-13.

[2] Робоча програма навчальної дисципліни "Екзотичні статистики"

[3] Artin E. Theorie der Zopfe, Abh. Math. Sem. Hamburg Univ. 4(1925), 47-72.

[1]

[2]

[3]