Поверхня Зейферта

В математиці пове́рхня Зе́йферта — поверхня, межею якої є заданий вузол або зачеплення. Такі поверхні часто бувають корисними при дослідженні відповідного вузла або зачеплення. Зокрема, за її допомогою найпростіше обчислюються багато інваріантів вузлів. Поверхні Зейферта цікаві й самі собою, як об'єкти дослідження. Названо на честь німецького математика Герберта Зейферта^[en]^[1]^[2].

Визначення

Нехай $L$ — ручний орієнтований вузол або зачеплення в тривимірному просторі (або на тривимірній сфері). Поверхнею Зейферта називають компактно зв'язну орієнтовану поверхню $S$ , вкладену в тривимірний простір так, що її межею є $L$ , причому орієнтація на поверхні $S$ індукує початкову орієнтацію на $L$ .

Підкреслимо, що поверхня Зейферта має бути орієнтованою.

Приклади

Будь-яка компактна зв'язна орієнтована поверхня з непорожньою межею в тривимірному просторі є поверхнею Зейферта своєї межі.

Стандартний лист Мебіуса має як межу тривіальний вузол, проте не є його поверхнею Зейферта, оскільки лист Мебіуса неорієнтований.

Рід вузла

Поверхня Зейферта даного вузла або зачеплення визначена неоднозначно: той самий вузол (або зачеплення) $K$ може мати кілька різних поверхонь Зейферта, мінімально можливий рід такої поверхні називають родом вузла, є його інваріантом і позначається через $g(K)$ .

Наприклад:

Рід тривіального вузла дорівнює 0 (оскільки він є межею диска); навпаки, якщо рід вузла дорівнює нулю, то вузол тривіальний.
Трилисник, як і вісімка, мають рід 1.
Рід торичного вузла типу $(p,q)$ дорівнює $(p-1)(q-1) \over 2$ .
Степінь многочлена Александера є оцінкою знизу на подвійний рід вузла.

Фундаментальною властивістю роду є його адитивність відносно зв'язної суми вузлів:

g(K_{1}\#K_{2})=g(K_{1})+g(K_{2})

Примітки

↑ Seifert, H. (1934). Über das Geschlecht von Knoten. Math. Annalen (нім.). 110 (1): 571—592. doi:10.1007/BF01448044. S2CID 122221512.
↑ van Wijk, Jarke J.; Cohen, Arjeh M. (2006). Visualization of Seifert Surfaces. IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics. 12 (4): 485—496. doi:10.1109/TVCG.2006.83. PMID 16805258. S2CID 4131932.

Посилання

SeifertView programme — побудова поверхонь Зейферта для різних вузлів.

[1] Seifert, H. (1934). Über das Geschlecht von Knoten. Math. Annalen (нім.). 110 (1): 571—592. doi:10.1007/BF01448044. S2CID 122221512.

[2] van Wijk, Jarke J.; Cohen, Arjeh M. (2006). Visualization of Seifert Surfaces. IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics. 12 (4): 485—496. doi:10.1109/TVCG.2006.83. PMID 16805258. S2CID 4131932.

[1]

[2]