Правило частки при диференціюванні

Правило частки — формула для знаходження похідної частки двох функцій.

Якщо ${\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}$, обидві функції f та g є диференційовними і ${\displaystyle g(x)\neq 0.}$ Правило знаходження похідної h(x) :

${\displaystyle h'(x)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}.}$

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}\left({\frac {e^{x}{x^{2}\right)={\frac {\left({\frac {d}{dx}e^{x}\right)(x^{2})-(e^{x})\left({\frac {d}{dx}x^{2}\right)}{(x^{2})^{2}={\frac {(e^{x})(x^{2})-(e^{x})(2x)}{x^{4}={\frac {e^{x}(x-2)}{x^{3}.}$

• ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}\tan x={\frac {d}{dx}\left({\frac {\sin x}{\cos x}\right)={\frac {\left({\frac {d}{dx}\sin x\right)(\cos x)-(\sin x)\left({\frac {d}{dx}\cos x\right)}{\cos ^{2}x}\\={\frac {(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{\cos ^{2}x}={\frac {1}{\cos ^{2}x}=\sec ^{2}x.\end{aligned}$

Є частковим випадком частки при ${\displaystyle f(x)=1}$:

${\displaystyle h'(x)={\frac {d}{dx}\left[{\frac {1}{g(x)}\right]={\frac {0\cdot g(x)-1\cdot g'(x)}{g(x)^{2}={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}.}$

Використовуючи диференціювання складеної функції отримаємо такий же результат.

Для ${\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{k\to 0}{\frac {h(x+k)-h(x)}{k}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {\frac {f(x+k)}{g(x+k)}-{\frac {f(x)}{g(x)}{k}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k\cdot g(x)g(x+k)}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x)g(x+k)}\\&=\lim _{k\to 0}\left[{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}\right]\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}\\&=\left[\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x)}{k}-\lim _{k\to 0}{\frac {f(x)g(x+k)-f(x)g(x)}{k}\right]\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}\\&=\left[\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)-f(x)}{k}\cdot g(x)-f(x)\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)-g(x)}{k}\right]\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}.\end{aligned}$$.

Якщо ${\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)},}$ тоді ${\displaystyle f(x)=g(x)h(x).}$

Використаємо правило добутку ${\displaystyle f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).}$

Виразимо ${\displaystyle h'(x)}$ та підставимо ${\displaystyle h(x)}$:

${\displaystyle h'(x)={\frac {f'(x)-g'(x)h(x)}{g(x)}={\frac {f'(x)-g'(x)\cdot {\frac {f(x)}{g(x)}{g(x)}={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}.}$

Для ${\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}=f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}$, використаємо диференціювання оберненої та складеної функцій:

${\displaystyle h'(x)=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}+f(x)\cdot \left[{\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}\right]={\frac {f'(x)}{g(x)}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}.}$

Для ${\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}.}$ Візьмем логарифми обох частин

${\displaystyle \ln |h(x)|=\ln \left|{\frac {f(x)}{g(x)}\right|=\ln |f(x)|-\ln |g(x)|}$

Візьмем логарифмічну похідну обох частин:

${\displaystyle {\frac {h'(x)}{h(x)}={\frac {f'(x)}{f(x)}-{\frac {g'(x)}{g(x)}$

Виразимо ${\displaystyle h'(x)}$ і підставимо ${\displaystyle h(x)={\tfrac {f(x)}{g(x)}$:

${\displaystyle h'(x)=h(x)\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}-{\frac {g'(x)}{g(x)}\right]={\frac {f(x)}{g(x)}\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}-{\frac {g'(x)}{g(x)}\right]={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}.}$

Правило добутку дозволяє обчислити похідні вищих порядків. Наприклад, для ${\displaystyle f=gh}$ друга похідна ${\displaystyle f''=g''h+2g'h'+gh''}$ дає

${\displaystyle h''=\left({\frac {f}{g}\right)''={\frac {f''-g''h-2g'h'}{g}.}$

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)