Harmonická řada je posloupnost částečných součtů posloupnosti převrácených hodnot přirozených čísel
.
Vlastnosti
Řada se nazývá harmonická, protože každý člen kromě prvního je harmonickým průměrem sousedních členů.
Ačkoli je splněna nutná podmínka pro konvergenci řady, tj.
, řada diverguje (její součet je plus nekonečno),
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}=+\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/832a2c1e3ef4ddfade774dc1863def47c26fce4b)
To je důsledkem odhadu pro posloupnost částečných součtů, který objevil Mikuláš Oresme:
![{\displaystyle s_{2^{n}=\sum _{k=1}^{2^{n}{\frac {1}{k}=1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}\geq 1+{\frac {1}{2}+({\frac {1}{4}+{\frac {1}{4})+...+({\frac {1}{2^{n}+...+{\frac {1}{2^{n})=1+{\frac {n}{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0be432dc808b417bd5ca6056ff6f3bd38b12035)
Posloupnost částečných součtů tedy roste logaritmicky, pro
tedy platí
![{\displaystyle s_{m}\geq 1+{1 \over 2}\log _{2}m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d41926b7d6b90e48e02fe2eda3ca2ffaad25064)
To je vidět i pomocí určitého integrálu:
![{\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}\geq \int _{1}^{n+1}\!{1 \over x}\,dx=\ln(n+1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4914b3d7f8e59d65f20ec1209f07f84fdf447a32)
Přesněji platí zajímavý vztah
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{1 \over k}-\ln n\right)=\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0f54f89622cfc68ad024f5976fe0d9a5c9921f)
kde
je Eulerova konstanta.
Členy posloupnosti částečných součtů se nazývají harmonická čísla a značí se
.
Je např. zajímavé, že desetinná čísla s konečným desetinným rozvojem jsou jen
a
.
Související články
Externí odkazy
Literatura
- JARNÍK Vojtěch. Diferenciální počet I. Praha: NČSAV, 1974.
- JARNÍK Vojtěch. Diferenciální počet II. Praha: NČSAV, 1984.