Harmona serio – nombra serio kiu havas aspekton:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}=1+{\frac {1}{2}+{\frac {1}{3}+{\frac {1}{4}+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e00c8f83804e29e4fa111b0afbd99e23605f42a)
Nomo devenas de sekvaj duontonoj de oscilanta kordo, kiuj estas proporcia al 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . Ĉiuj elemento de serio estas harmona meznombro de du antaŭaj nombroj.
Malkonverĝo de harmona serio
Harmona serio estas malkonverĝa - suba pruvo de tiu fakto devenas de Nikolao de Oresme kaj estas unu el gravaj sukcesoj de mezepoka matematiko.
![{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}+{\frac {1}{3}+{\frac {1}{4}+{\frac {1}{5}+{\frac {1}{6}+{\frac {1}{7}+{\frac {1}{8}+\dots =1+{\frac {1}{2}+\left({\frac {1}{3}+{\frac {1}{4}\right)+\left({\frac {1}{5}+{\frac {1}{6}+{\frac {1}{7}+{\frac {1}{8}\right)+\dots >}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c03d61c6b505d30755782b7fcf29fd95ec108b41)
![{\displaystyle >1+{\frac {1}{2}+\left({\frac {1}{4}+{\frac {1}{4}\right)+\left({\frac {1}{8}+{\frac {1}{8}+{\frac {1}{8}+{\frac {1}{8}\right)+\dots =1+{\frac {1}{2}+\left({\frac {1}{2}\right)+\left({\frac {1}{2}\right)+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/822e2f1aa2986e306350c746f53ec07334ab18ef)
Ĉar sumo de nombroj en ĉiu krampo de la lasta formulado estas = 1/2, vico de partaj sumoj de la serio ne havas limeson.
Ĝeneralaĵoj
Tiel nomata ĝenerala harmona serio
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{an+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d3cffa309135d5631d6e2ac8f141e2127dd0eb)
estas malkonverĝa kiam
Oni povas pruvi[noto 1], ke makkonverĝa estas ankaŭ serio de inversoj de primoj.
Harmonaj nombroj
Sekvaj partaj sumoj de harmona serio
![{\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/622414732ffe7bc0ad12828930de20f135908faa)
tiel nomataj harmonaj nombroj, kreskas malrapide, ĉar ekzistas ekvacio:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{n}-\ln(n)=\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9263d2c96e4fefe33154f40e6bf9494e985a305c)
kaj γ estas tiel nomata konstanto de Euler. Tio signifas, ke harmona serio kreskas same rapide kiel natura logaritmo.
Harmona serio kun pli altaj gradoj
Harmona serio kun grado α havas aspekton:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }=1+{\frac {1}{2^{\alpha }+{\frac {1}{3^{\alpha }+{\frac {1}{4^{\alpha }+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c84049a093b806564dadfc8e62056aef4a6fff3)
La serio estas konverĝa por α>1 kaj malkonverĝa alikaze. Se α povus esti kompleksa nombro kaj por ĉiu α kiam serio estas korverĝa kunigos ĝia sumo, tiel verkata funkcio estas funkcio ς de Riemann:
Tiu funkcio estas grava en teorio de nombroj. Kaj kunigas kun ĝi fama hipotezo de Riemann.
Ankaŭ Alterna harmona serio estas ankaŭ konverĝa, sed nur kondiĉe
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}{n}=\ln 2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a543b1765f7159c38e0c38ed85e51d1db50e4af)
Tiu rezultas ekzemple el disvolvo de funkcio natura logaritmo en serio de Taylor.
Notoj
- ↑ pruvis Euler