В математиці , гармонічним рядом називається нескінченний розбіжний ряд :
∑
k
=
1
∞
1
k
=
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
⋯
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}=1+{\frac {1}{2}+{\frac {1}{3}+{\frac {1}{4}+\cdots .\!}
Обчислення
n
{\displaystyle n}
-ною частковою сумою
s
n
{\displaystyle s_{n}
гармонічного ряду називається
n
{\displaystyle n}
-не гармонічне число :
s
n
=
∑
k
=
1
n
1
k
=
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
⋯
+
1
n
{\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}=1+{\frac {1}{2}+{\frac {1}{3}+{\frac {1}{4}+\cdots +{\frac {1}{n}
Деякі значення часткових сум
s
1
=
1
s
2
=
3
2
=
1
,
5
s
3
=
11
6
≈
1,833
s
4
=
25
12
≈
2,083
{\displaystyle {\begin{matrix}s_{1}&=&1\\\\s_{2}&=&{\frac {3}{2}&=&1{,}5\\\\s_{3}&=&{\frac {11}{6}&\approx &1{,}833\\\\s_{4}&=&{\frac {25}{12}&\approx &2{,}083\end{matrix}
s
5
=
137
60
≈
2,283
s
6
=
49
20
=
2
,
45
s
7
=
363
140
≈
2,593
s
8
=
761
280
≈
2,718
{\displaystyle {\begin{matrix}s_{5}&=&{\frac {137}{60}&\approx &2{,}283\\\\s_{6}&=&{\frac {49}{20}&=&2{,}45\\\\s_{7}&=&{\frac {363}{140}&\approx &2{,}593\\\\s_{8}&=&{\frac {761}{280}&\approx &2{,}718\end{matrix}
Розбіжність ряду
Гармонічний ряд розбіжний, щоправда розбіжність є дуже повільною (для того, щоб часткова сума перевищила 100, необхідно близько 1043 елементів ряду).
Доведення 1
Розбіжність ряду можна довести погрупувавши доданки так:
∑
k
=
1
∞
1
k
=
1
+
[
1
2
]
+
[
1
3
+
1
4
]
+
[
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
]
+
[
1
9
+
⋯
]
+
⋯
>
1
+
[
1
2
]
+
[
1
4
+
1
4
]
+
[
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
]
+
[
1
16
+
⋯
]
+
⋯
=
1
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
⋯
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}\right]+\left[{\frac {1}{3}+{\frac {1}{4}\right]+\left[{\frac {1}{5}+{\frac {1}{6}+{\frac {1}{7}+{\frac {1}{8}\right]+\left[{\frac {1}{9}+\cdots \right]+\cdots \\&{}>1+\left[{\frac {1}{2}\right]+\left[{\frac {1}{4}+{\frac {1}{4}\right]+\left[{\frac {1}{8}+{\frac {1}{8}+{\frac {1}{8}+{\frac {1}{8}\right]+\left[{\frac {1}{16}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1}{2}\ \quad +\ \cdots .\end{aligned}
Останній ряд, очевидно, розбіжний, що доводить твердження.
Доведення 2
Припустимо, що гармонічний ряд збіжний і його сума рівна
S
{\displaystyle ~S}
:
∑
k
=
1
∞
1
k
=
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
⋯
=
S
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}=1+{\frac {1}{2}+{\frac {1}{3}+{\frac {1}{4}+\cdots =S}
Тоді перегрупувавши доданки одержимо:
S
=
(
1
+
1
3
+
1
5
+
1
7
+
⋯
)
+
(
1
2
+
1
4
+
1
6
+
1
8
+
⋯
)
{\displaystyle S=\left(1+{\frac {1}{3}+{\frac {1}{5}+{\frac {1}{7}+\cdots \right)+\left({\frac {1}{2}+{\frac {1}{4}+{\frac {1}{6}+{\frac {1}{8}+\cdots \right)}
Винесемо із других дужок
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}
:
S
=
(
1
+
1
3
+
1
5
+
1
7
+
⋯
)
+
1
2
(
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
⋯
)
{\displaystyle S=\left(1+{\frac {1}{3}+{\frac {1}{5}+{\frac {1}{7}+\cdots \right)+{\frac {1}{2}\left(1+{\frac {1}{2}+{\frac {1}{3}+{\frac {1}{4}+\cdots \right)}
Замінимо вираз в других дужках на
S
{\displaystyle ~S}
:
S
=
(
1
+
1
3
+
1
5
+
1
7
+
⋯
)
+
1
2
S
{\displaystyle S=\left(1+{\frac {1}{3}+{\frac {1}{5}+{\frac {1}{7}+\cdots \right)+{\frac {1}{2}S}
Перенесемо
1
2
S
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}S}
в ліву частину:
1
2
S
=
(
1
+
1
3
+
1
5
+
1
7
+
⋯
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}S=\left(1+{\frac {1}{3}+{\frac {1}{5}+{\frac {1}{7}+\cdots \right)}
Замінивши
S
{\displaystyle ~S}
сумою ряду одержимо:
1
2
+
1
4
+
1
6
+
1
8
+
⋯
=
1
+
1
3
+
1
5
+
1
7
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{2}+{\frac {1}{4}+{\frac {1}{6}+{\frac {1}{8}+\cdots =1+{\frac {1}{3}+{\frac {1}{5}+{\frac {1}{7}+\cdots }
Ця рівність хибна, оскільки одиниця більша однієї другої, одна третя більше однієї четвертої, і так далі. Таким чином припущення про збіжність ряду привело до суперечності.
Доведення 3
На початок запишемо суму геометричної прогресії :
1
1
−
x
=
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
x
4
+
.
.
.
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+...}
де |x|<1 .
Візьмемо інтеграл з обох сторін, внаслідок чого одержимо:
−
ln
(
1
−
x
)
=
x
+
x
2
2
+
x
3
3
+
.
.
.
{\displaystyle -\ln(1-x)=x+{\frac {x^{2}{2}+{\frac {x^{3}{3}+...}
Перейшовши до границі при
x
→
1
{\displaystyle x\rightarrow 1}
одержуємо рівність:
−
lim
x
→
1
ln
(
1
−
x
)
=
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
.
.
.
=
∑
n
=
1
∞
1
n
{\displaystyle -\lim _{x\to 1}\ln(1-x)=1+{\frac {1}{2}+{\frac {1}{3}+{\frac {1}{4}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}
.
Оскільки
−
lim
x
→
1
ln
(
1
−
x
)
=
−
(
−
∞
)
=
∞
{\displaystyle -\lim _{x\to 1}\ln(1-x)=-(-\infty )=\infty }
, то також має місце
∑
n
=
1
∞
1
n
=
∞
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}=\infty }
Тобто гармонічний ряд є розбіжним.
Пов'язані ряди
Знакопереміжний гармонічний ряд
Перші 14 часткових сум знакопереміжного гармонійного ряду (чорні відрізки) збігаються до натурального логарифму 2 (червона пряма).
Ряд
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
=
1
−
1
2
+
1
3
−
1
4
+
1
5
−
⋯
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}{n}=1-{\frac {1}{2}+{\frac {1}{3}-{\frac {1}{4}+{\frac {1}{5}-\cdots }
називається
знакопереміжним гармонічним рядом . Він
умовно збіжний за
теоремою Лейбніца , але не
абсолютно збіжний . Його сума - логарифм від 2
[en] .
[1]
Використання знаків що чергуються з лише непарними знаменниками дасть пов'язаний ряд Лейбніца для знаходження π [2]
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
n
+
1
=
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
⋯
=
π
4
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}{2n+1}=1-{\frac {1}{3}+{\frac {1}{5}-{\frac {1}{7}+\cdots ={\frac {\pi }{4}.}
Див. також
Література
Зноски
↑ Freniche, Francisco J. (2010). On Riemann's rearrangement theorem for the alternating harmonic series . The American Mathematical Monthly . 117 (5): 442—448. doi :10.4169/000298910X485969 . JSTOR 10.4169/000298910x485969 . MR 2663251 .
↑ Soddy, F. (1943). The three infinite harmonic series and their sums (with topical reference to the Newton and Leibniz series for
π
{\displaystyle \pi }
). Proceedings of the Royal Society . 182 : 113—129. doi :10.1098/rspa.1943.0026 . MR 0009207 .