Harmónična vŕsta je v matematiki divergentna vrsta :
∑
n
=
1
∞
1
n
=
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
⋯
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}=1+{\frac {1}{2}+{\frac {1}{3}+{\frac {1}{4}+\cdots \!\,.}
Tako se imenuje, ker so valovne dolžine delnih tonov nihajoče strune sorazmerne z 1, 1/2, 1/3, 1/4, ··· . Vsak člen vrste za prvim je harmonična sredina sosednjih dveh členov, predhodnega in naslednjega,
H
(
a
n
−
1
,
a
n
+
1
)
{\displaystyle H(a_{n-1},a_{n+1})}
. Na primer:
1
2
=
2
1
+
1
1
3
,
1
3
=
2
1
1
2
+
1
1
4
,
1
4
=
2
1
1
3
+
1
1
5
,
1
5
=
2
1
1
4
+
1
1
6
,
⋯
,
1
a
n
=
2
1
1
a
n
−
1
+
1
1
a
n
+
1
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}={\frac {2}{1+{\frac {1}{\frac {1}{3},\quad {\frac {1}{3}={\frac {2}{\frac {1}{\frac {1}{2}+{\frac {1}{\frac {1}{4},\quad {\frac {1}{4}={\frac {2}{\frac {1}{\frac {1}{3}+{\frac {1}{\frac {1}{5},\quad {\frac {1}{5}={\frac {2}{\frac {1}{\frac {1}{4}+{\frac {1}{\frac {1}{6},\quad \cdots ,\quad {\frac {1}{a_{n}={\frac {2}{\frac {1}{\frac {1}{a_{n-1}+{\frac {1}{\frac {1}{a_{n+1}\!\,.}
Zaporedje členov s takšnimi značilnostmi je harmonično zaporedje, harmonična vrsta pa je vsota harmoničnega zaporedja (vsota členov harmoničnega zaporedja).
Tudi izraz harmonična sredina izvira iz glasbe .
Vrsta divergira, sicer počasi, k neskončnosti (vsota prvih 1043 členov je manj kot 100 ). To se lahko lepo pokaže z dejstvom, da je harmonična vrsta po členih večja ali enaka z vrsto:
∑
n
=
1
∞
1
n
=
1
+
[
1
2
]
+
[
1
3
+
1
4
]
+
[
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
]
+
[
1
9
+
⋯
]
+
⋯
∑
n
=
1
∞
1
2
⌈
log
2
n
⌉
=
1
+
[
1
2
]
+
[
1
4
+
1
4
]
+
[
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
]
+
[
1
16
+
⋯
]
+
⋯
=
1
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
⋯
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}\right]+\left[{\frac {1}{3}+{\frac {1}{4}\right]+\left[{\frac {1}{5}+{\frac {1}{6}+{\frac {1}{7}+{\frac {1}{8}\right]+\left[{\frac {1}{9}+\cdots \right]+\cdots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{\lceil \log _{2}n\rceil }\!&{}=1+\left[{\frac {1}{2}\right]+\left[{\frac {1}{4}+{\frac {1}{4}\right]+\left[{\frac {1}{8}+{\frac {1}{8}+{\frac {1}{8}+{\frac {1}{8}\right]+\left[{\frac {1}{16}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1}{2}\ \quad +\ \cdots \!\,,\end{aligned}
ki očitno divergira. Ta dokaz je podal Nicole Oresme v 14. stoletju in predstavlja enega od viškov srednjeveške matematike. Kasneje so dokaze podali Pietro Mengoli , Johann in Jakob Bernoulli v 17. stoletju. Celo vsota obratnih vrednosti praštevil divergira k neskončnosti, čeprav je to težje dokazati.
Konvergenca alternirajoče harmonične vrste
Prvih štirinajst delnih vsot alternirajoče harmonične vrste (črni odseki) kaže njeno konvergenco k naravnemu logaritmu od 2 (rdeča premica)
Alternirajoča harmonična vrsta na drugi strani konvergira - je pogojno konvergentna:
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
=
1
−
1
2
+
1
3
−
1
4
+
⋯
=
ln
2
=
0
,
693
147
180
…
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}{n}=1-{\frac {1}{2}+{\frac {1}{3}-{\frac {1}{4}+\cdots =\ln 2=0,693\,147\,180\,\dots \!\,.}
Konvergenco alternirajoče harmonične vrste je leta 1650 v članku dokazal Mengoli. Ta enakost je posledica Mercatorjeve vrste , Taylorjeve vrste za naravni logaritem . Po obliki Mercatorjevi vrsti sorodna je vrsta:
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
n
+
1
=
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
⋯
=
arctan
(
1
)
=
π
4
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}{2n+1}=1-{\frac {1}{3}+{\frac {1}{5}-{\frac {1}{7}+\cdots =\arctan(1)={\frac {\pi }{4}\!\,.}
To je posledica razvoja krožne fukncije arkus tangens v Taylorjevo vrsto, katere konvergenčni polmer je enak 1.
Delne vsote
n -ta delna vsota harmonične vrste:
H
n
=
∑
k
=
1
n
1
k
{\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}\!\,}
se imenuje n -to harmonično število .
Razlika med n -tim harmoničnim številom in naravnim logaritmom od n konvergira k Euler-Macheronijevi konstanti :
lim
n
→
∞
(
H
n
−
ln
n
)
=
γ
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)=\gamma \!\,.}
Razlika med dvema različnima harmoničnima številoma ni nikoli celo število .
Splošna harmonična vrsta
Splošna harmonična vrsta ima obliko:
∑
n
=
0
∞
1
a
n
+
b
,
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}\!\,,}
kjer sta konstanti a in b končni realni števili .
Vse splošne harmonične vrste divergirajo.[1]
Sklici
Glej tudi
Aritmetična zaporedja in vrste
Geometrična zaporedja in vrste
Konvergentne vrste
1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ···
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ···
1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ···
Divergentne geometrične vrste
Splošno o vrstah
delna vsota
ostanek vrste
konvergenčni kriteriji
pogojna konvergenca
multisekcija vrste
Druge vrste Hipergeometrične vrste
posplošene hipergeometrične vrste
hipergeometrična funkcija matričnega argumenta
Lauricellove hipergeometrične vrste
eliptične hipergeometrične vrste
Riemannova diferencialna enačba
hipergeometrične vrste theta
Celoštevilska zaporedja Druga zaporedja
Cauchyjevo zaporedje
periodična zaporedja