Loi bêta décentrée

Loi bêta décentrée
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	${\displaystyle \alpha >0}$ et ${\displaystyle \beta >0}$, paramètres de forme ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$, paramètre de décentralisation
Support	${\displaystyle x\in [0;1]\!}$
Densité de probabilité	${\displaystyle \scriptstyle \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}\left({\frac {\lambda }{2}\right)^{j}\mathrm {e} ^{-\lambda /2}{\frac {x^{\alpha +j-1}(1-x)^{\beta -1}{B(\alpha +j,\beta )}$
Fonction de répartition	${\displaystyle \scriptstyle \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}\left({\frac {\lambda }{2}\right)^{j}\mathrm {e} ^{-\lambda /2}I_{x}(a+j,b)}$
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En théorie des probabilités et en statistique, la loi bêta décentrée est une loi de probabilité continue généralisant la loi bêta (sous-entendue centrée) en la décentrant grâce à un paramètre ${\displaystyle \lambda }$, c'est-à-dire en décalant sa moyenne.

Densité de probabilité

La densité de probabilité de la loi bêta décentrée est :

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}\left({\frac {\lambda }{2}\right)^{j}\mathrm {e} ^{-\lambda /2}{\frac {x^{\alpha +j-1}(1-x)^{\beta -1}{B(\alpha +j,\beta )}&{\hbox{ pour }x\in [0,1]\\0&{\hbox{ sinon }\end{cases}$

où ${\displaystyle B}$ est la fonction bêta, ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ sont les paramètres de forme et ${\displaystyle \lambda }$ est le paramètre de décentrement.

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi bêta décentrée est :

${\displaystyle F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}\left({\frac {\lambda }{2}\right)^{j}\mathrm {e} ^{-\lambda /2}I_{x}(a+j,b)}$

où ${\displaystyle I_{x}$ est la fonction bêta incomplète régularisée, ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont les paramètres de forme et ${\displaystyle \lambda }$ est le paramètre de décentrement.

Cas particuliers

Quand ${\displaystyle \lambda =0}$, la loi bêta décentrée est la loi bêta.

Références

• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne)
• (en) J.L. Jr Hodges, « On the noncentral beta-distribution », Annals of Mathematical Statistics, vol. 26,‎ 1955, p. 648–653
• (en) G.A.F. Seber, « The non-central chi-squared and beta distributions », Biometrika, vol. 50,‎ 1963, p. 542–544

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