Loi inverse-gaussienne généralisée
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Paramètres
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Support
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Densité de probabilité
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Espérance
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Mode
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Variance
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Fonction génératrice des moments
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Fonction caractéristique
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En théorie des probabilités et en statistique, la loi inverse-gaussienne généralisée (GIG, pour generalized inverse Gaussian distribution en anglais) est une loi de probabilité continue qui généralise la loi inverse-gaussienne en introduisant un troisième paramètre.
Cette loi est utilisée, par exemple, en géostatistique, en hydrologie ou en finance. Elle a été initialement proposée par le statisticien et hydrologue Étienne Halphen[1], puis la loi a été popularisée par Ole Barndorff-Nielsen (en) qui lui a donné son nom, ainsi que par Herbert Sichel (en), la loi est également connue sous le nom de loi de Sichel.
La notation
indique que la variable aléatoire X suit une loi inverse-gaussienne généralisée.
Caractérisation
La densité de probabilité de la loi inverse-gaussienne généralisée est donnée par[2] :
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle \left({\frac {\gamma }{\delta }\right)^{\lambda }{\frac {1}{2K_{\lambda }(\delta \gamma )}x^{\lambda -1}e^{-{\frac {1}{2}(\gamma ^{2}x+{\frac {\delta ^{2}{x})}&{\text{ si }x>0\\0&{\text{ sinon}\end{cases}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55fcce5baed3c6450e8b9a2de579c5a72a5fcd73)
où
est la fonction de Bessel modifiée de troisième espèce et de paramètre
, et les paramètres vérifient :
![{\displaystyle {\begin{cases}\delta \geq 0\;,\;\gamma >0\;&{\text{ si }\lambda >0\;,\\\delta >0\;,\;\gamma >0\;&{\text{ si }\lambda =0\;,\\\delta >0\;,\;\gamma \geq 0\;&{\text{ si }\lambda <0.\end{cases}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a18b45572de030eb24ff9a686a3196e04e9e245)
Entropie
L'entropie de la loi inverse-gaussienne généralisée est donnée par :
![{\displaystyle H(f(x))=\log \left({\frac {\delta }{\gamma }\right)+\log \left(2K_{\lambda }\left(\delta \gamma \right)\right)-(\lambda -1){\frac {\left[{\frac {d}{d\nu }K_{\nu }\left(\delta \gamma \right)\right]_{\nu =\lambda }{K_{\lambda }\left(\delta \gamma \right)}+{\frac {\delta \gamma }{2K_{\lambda }\left(\delta \gamma \right)}\left(K_{\lambda +1}\left(\delta \gamma \right)+K_{\lambda -1}\left(\delta \gamma \right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36598acf1c908f160b9eba26d548cbc959c43ef)
où
est la dérivée par rapport à l'ordre
de la fonction de Bessel modifiée et évaluée en
.
Liens avec d'autres lois
- Lorsque
, la loi
est une loi inverse-gaussienne[2].
- La loi gamma est un cas particulier de la loi inverse-gaussienne généralisée pour
[2].
Références