Loi demi-normale

Loi demi-normale
Paramètres	${\displaystyle \sigma >0}$
Support	${\displaystyle y\in [0,+\infty [\,}$
Densité de probabilité	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}{\sigma {\sqrt {\pi }\exp \left(-{\frac {y^{2}{2\sigma ^{2}\right)}$
Fonction de répartition	${\displaystyle \int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma }{\sqrt {\frac {2}{\pi }\,\exp \left(-{\frac {x^{2}{2\sigma ^{2}\right)dx}$
Espérance	${\displaystyle {\frac {\sigma {\sqrt {2}{\sqrt {\pi }$
Variance	${\displaystyle \sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }\right)}$
Entropie	${\displaystyle {\frac {1}{2}\log \left({\frac {\pi \sigma ^{2}{2}\right)+{\frac {1}{2}$
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En théorie des probabilités et en statistique, la loi demi-normale est un cas particulier de la loi normale repliée.

Soit ${\displaystyle X}$ une variable aléatoire de loi normale centrée, ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}(0,\sigma ^{2})}$, alors ${\displaystyle Y=|X|}$ est de loi demi-normale. En particulier, la loi demi-normale est une loi normale repliée de paramètre 0 et ${\displaystyle \sigma }$.

La densité de probabilité de la loi demi-normale est donnée par :

${\displaystyle f_{Y}(y;\theta )={\begin{cases}{\frac {\sqrt {2}{\sigma {\sqrt {\pi }\exp \left(-{\frac {y^{2}{2\sigma ^{2}\right)&{\text{ si }y>0\\0&{\text{ sinon.}\end{cases}$

L'espérance est :

${\displaystyle \mathbb {E} [Y]=\mu ={\frac {\sigma {\sqrt {2}{\sqrt {\pi }$.

En faisant le changement de variable : ${\displaystyle \theta ={\frac {\sqrt {\pi }{\sigma {\sqrt {2}$, utile lorsque ${\displaystyle \sigma }$ est proche de zéro, la densité prend la forme :

${\displaystyle f_{Y}(y;\theta )={\begin{cases}{\frac {2\theta }{\pi }\exp \left(-{\frac {y^{2}\theta ^{2}{\pi }\right)&{\text{ si }y>0\\0&{\text{ sinon.}\end{cases}$

L'espérance est alors :

${\displaystyle \mathbb {E} [Y]=\mu ={\frac {1}{\theta }$.

La fonction de répartition de la loi demi-normale est donnée par :

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )={\begin{cases}{\displaystyle \int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma }{\sqrt {\frac {2}{\pi }\,\exp \left(-{\frac {x^{2}{2\sigma ^{2}\right)\,\mathrm {d} x}&{\text{ si }y>0\\[3pt]0&{\text{ sinon.}\end{cases}$

En utilisant le changement de variable ${\displaystyle z=x/({\sqrt {2}\sigma )}$, la fonction de répartition peut s'écrire

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }\,\int _{0}^{y/({\sqrt {2}\sigma )}\exp(-z^{2})\,\mathrm {d} z={\mbox{erf}\left({\frac {y}{\sqrt {2}\sigma }\right),}&{\text{ si }y>0\\[3pt]0&{\text{ sinon.}\end{cases}$

où erf est la fonction d'erreur.

La variance est :

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }\right).}$

Puisqu'elle est proportionnelle à la variance ${\displaystyle \sigma ^{2}$ de X, ${\displaystyle \sigma }$ peut être vu comme un paramètre d'échelle de cette nouvelle loi.

L'entropie de la loi demi-normale est

${\displaystyle H(Y)={\frac {1}{2}\log \left({\frac {\pi \sigma ^{2}{2}\right)+{\frac {1}{2}.}$

• La loi demi-normale est un cas particulier de la loi normale repliée avec μ = 0.
• ${\displaystyle ({\frac {Y}{\sigma })^{2}$ suit une loi du χ² à un degré de liberté.

• (en) loi demi-normale sur MathWorld.

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