기울기 (벡터)

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기울기(gradient 그레이디언트^[*]) 또는 경도란 벡터 미적분학에서 스칼라장의 최대의 증가율을 나타내는 벡터장을 뜻한다.

기울기를 나타내는 벡터장을 화살표로 표시할 때 화살표의 방향은 증가율이 최대가 되는 방향이며, 화살표의 크기는 증가율이 최대일 때의 증가율의 크기를 나타낸다.

어느 방안의 공간 온도 분포가 스칼라장 φ로 주어졌다고 가정한다. 이 때, 방안의 어느 한 점(x,y,z)에서의 온도는 φ(x,y,z)로 표시할 수 있다. (온도는 시간에 의해 변화하지 않는다고 가정) 이 경우에 어느 한 지점에서의 기울기는 온도가 가장 빨리 증가하는 방향과 그 증가율을 나타낸다.

이번에는 산이나 언덕을 가정해보자. 어떤 지점(x,y)에서의 높이를 H(x,y)로 표현하는 경우, 기울기는 가장 (위를 바라보는)경사가 가파른 방향과 그 경사의 크기를 나타낸다.

기울기를 이용해 다른 방향의 증가율을 구하려면 기울기와 그 방향의 단위 벡터의 내적을 취하면 된다.

기울기는 무회전성 벡터계이다. 즉, 기울기 벡터계에 대해 선적분을 구하면 결과값은 경로와 상관없이 시작점과 끝점에 따라서만 변화함을 뜻한다.

스칼라 함수 ${\displaystyle f(x)}$의 기울기는 ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }f}$로 표현한다. ${\displaystyle \nabla }$ 기호는 벡터 미분 연산자로 나블라(nabla) 혹은 델(del)연산자라고 부른다.

기울기는 ${\displaystyle f}$의 각 성분의 편미분으로 구성된 열벡터로 정의하며 다음과 같이 표시한다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}\right)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }f=\left({\frac {\partial f}{\partial x},{\frac {\partial f}{\partial y}\right)}$

예를 들어 함수

${\displaystyle f(x,y,z)=\ 2x+3y^{2}-\sin(z)}$의 기울기는

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x},{\frac {\partial f}{\partial y},{\frac {\partial f}{\partial z}\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-\cos(z)}\end{pmatrix}$이다.

• 그래디언트는 등위선과 직교한다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }f\bot L_{c}(f).\quad L_{c}(f)=\left\{\mathbf {r} (t)|f(\mathbf {r} (t))=c\right\}$

• 회전 (벡터)
• 발산 (벡터)