Rombs

Eiklīda ģeometrijā rombs ir vienkāršs, izliekts četrstūris, kura četras malas ir vienāda garuma. Cits nosaukums ir vienādmalu četrstūris, jo visas tā malas ir vienādas pēc garuma. Katrs rombs ir paralelograms. Rombs ar taisniem leņķiem ir kvadrāts.^[1][2]

Etimoloģija

Vārds “rombs’ nāk no grieķu ῥόμβος (rhombos) un apzīmē kaut ko, kas griežas,^[3] kas izriet no darbības vārda ῥέμβω (rhembō) nozīmes “griezt uz riņķi”.^[4] Vārdu izmantoja gan Eiklīds, gan Arhimēds, kurš lietoja terminu “romba ķermenis” par diviem taisniem apļveida konusiem, dalot kopīgu pamatu.^[5] Virsma, ko sauc par rombu, ir šī “romba ķermeņa” šķērsgriezums caur katru no konusa virsotnēm.

Raksturojums

Vienkāršs izliekts četrstūris ir rombs tad un tikai tad, ja tas ir viens no šādiem:^[6][7]

• paralelograms, kura diagonāle ir iekšējā leņķa bisektrise
• paralelograms, kuram vismaz divas šādas malas ir vienāda garuma
• paralelograms, kura diagonāles ir perpendikulāras (ortodiagonāls paralelograms)
• četrstūris, kura visas četras malas ir vienāda garuma (pēc definīcijas)
• četrstūris, kurā katra diagonāle pārdala uz pusēm divus pretējos iekšējos lenķus
• četrstūris ABCD ar punktu P šajā plaknē, ka trijstūri ABP,BCP, CDP un DAP ir līdzīgi.^[8]

Galvenās īpašības

Katram rombam ir divas diagonāles, kas savieno divas pretējās malas un divi pāri ar paralēlām malām. Izmantojot līdzīgus trijstūrus, var pierādīt, ka rombs ir simetrisks pret katru no šīm diagonālēm. No tā izriet, ka jebkuram rombam ir spēkā šādas īpašības:

• romba pretējie leņķi ir vienādi
• romba diagonāles ir perpendikulāras, t.i., rombs ir ortodiagonāls četrstūris
• romba diagonāle ir leņķu bisektrise
• katrā rombā var ievilkt riņķa līniju
• katra romba diagonāle ir tā simetrijas ass.

Pirmā īpašība norāda, ka katrs rombs ir paralelograms. Tāpēc rombam piemīt visas paralelograma īpašības, kā piemēram, pretējās malas ir paralēlas, pretējie leņķi ir vienādi, diagonāles krustojoties dalās uz pusēm, jebkura līnija, kas novilkta caur diagonāļu krustpunktu, sadala laukumu divās vienādās daļās un sānu malu kvadrātu summa ir vienāda ar diagonāļu kvadrātu summu (paralelograma likums). Tādējādi, apzīmējot romba malu ar ${\displaystyle a}$ un diagonāles ar ${\displaystyle p}$ un ${\displaystyle q}$, iegūst ${\displaystyle 4a^{2}=p^{2}+q^{2}$.

Ne katrs paralelograms ir rombs, lai gan paralelograms ar perpendikulārām diagonālēm (otrā īpašība) ir rombs. Kopumā jebkurš četrstūris ar perpendikulārām diagonālēm ir "pūķis" jeb deltoīds, un jebkurš četrstūris, kurš ir gan pūķis, gan paralelograms, ir rombs.

Rombs ir tangenciāls četrstūris, kurā var ievilkt riņķa līniju. ^[9]

Laukums

Kā jau visiem paralelogramiem, arī romba laukums S ir pamata un augstuma reizinājums. Pamats ir pilnīgi jebkura romba mala a:

${\displaystyle S=a\cdot h.}$

Laukumu vēl var izteikt kā malas kvadrāta reizinājumu ar jebkura leņķa sinusu:

${\displaystyle S=a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta ,}$

vai augstuma kvadrāta attiecību ar leņķa sinusu:

${\displaystyle S={\frac {h^{2}{\sin \alpha },}$

vai pusi no diagonāļu reizinājumu:

${\displaystyle S={\frac {p\cdot q}{2},}$

vai kā divkāršotu malas un ievilktās riņķa līnijas rādius reizinājumu:

${\displaystyle S=2a\cdot r.}$

Vēl viens veids, kas kopīgs ar paralelogramu, ir pieņemt divas blakus esošās malas kā vektorus, kas veido "bivector" (angļu val.), tādā veidā laukums ir vienāds ar "bivector" lielumu, kurš, savukārt, ir divu vektoru "Cartesian" (angļu val.) koordināšu determinants: K = x₁y₂ – x₂y₁.^[10]

Diagonāles

Diagonāļu garumu p=AC un q=BD var izteikt kā

${\displaystyle p=a{\sqrt {2+2\cos {\alpha }$

un

${\displaystyle q=a{\sqrt {2-2\cos {\alpha }.}$

Šīs formulas ir tiešas sekas no kosinusa teorēmas.

Ievilktās riņķa līnijas rādiuss

Ievilktās riņķa līnijas rādiusu, apzīmēts ar r, var izteikt ar diagonāļu p un q palīdzību:^[9]

${\displaystyle r={\frac {p\cdot q}{2{\sqrt {p^{2}+q^{2}.}$

Divējādās īpašības

Romba divējādais daudzstūris ir taisnstūris:^[11]

• Romba visas malas ir vienādas, savukārt taisnstūra visi leņķi ir vienādi.

• Romba pretējie leņķi ir vienādi, savukārt taisnstūra pretējās malas ir vienādas. 

• Rombā var ievilkt riņķa līniju, savukārt taisnstūrim var apvilkt riņķa līniju.

• Rombam ir simetrijas ass, kas vilkta caur pretējiem leņķiem, savukārt taisnstūrim ir simetrijas ass, kas vilkta caur pretējo malu viduspunktiem.

• Romba diagonāles krustojoties sadala leņķi divās vienādās daļās, kamēr taisnstūra diagonāles krustojoties dalās uz pusēm.

• Figūra, kas izveidojas, savienojot romba malu viduspunktus, ir taisnstūris, un otrādi.

Vienādojums

Romba malas, novietotas centrā (sākumpunktā) ar diagonālēm, kas  atrodoties uz asīm, sastāvot no punktiem, kas apmierina šādu vienādojumu:

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}\right|\!+\left|{\frac {y}{b}\right|\!=1.}$

Virsotnes atrodas ${\displaystyle (\pm a,0)}$ un ${\displaystyle (0,\pm b).}$Šis ir superelipses speciālgadījums ar eksponenti 1.

Atsauces

Ārējās saites

• Vikikrātuvē par šo tēmu ir pieejami multivides faili. Skatīt: Rombs.

• Krievijas Lielās enciklopēdijas raksts (krieviski)