Hiperbola (matematyka)

Ten artykuł dotyczy krzywej stożkowej. Zobacz też: inne znaczenia.

Hiperbola (stgr. ὑπερβολή hyperbolḗ „przerzucenie; przesada”^[1][2][3]) – krzywa płaska definiowana na co najmniej dwa równoważne sposoby:

• definicja planimetryczna jest oparta na dwóch różnych, ustalonych punktach nazywanych ogniskami. Hiperbola to zbiór takich punktów, dla których wartość bezwzględna różnicy odległości od ognisk jest stała^[1];
• hiperbola to taka krzywa stożkowa, dla której kąt między płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą.

Hiperbola nie jest spójna – ma dwie rozłączne części zwane gałęziami^[1].

Jeżeli ogniska hiperboli mają współrzędne ${\displaystyle (-c,0)}$ i ${\displaystyle (c,0),}$ to można ją opisać równaniem^[1]:

${\displaystyle {\frac {x^{2}{a^{2}-{\frac {y^{2}{b^{2}=1,}$

gdzie ${\displaystyle a}$ jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami hiperboli, natomiast ${\displaystyle b}$ jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami urojonymi. Zachodzi również związek:

${\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}.}$

Jeżeli ${\displaystyle a=b,}$ to hiperbola nazywana jest równoosiową^[1].

Mimośrodem hiperboli nazywa się stosunek odległości pomiędzy ogniskami a wierzchołkami rzeczywistymi^[1]:

${\displaystyle e={\frac {2c}{2a}={\frac {c}{a}>1.}$

Od mimośrodu zależy kształt hiperboli.

Obierając na hiperboli dowolny punkt ${\displaystyle P=(x,y),}$ przez ${\displaystyle r_{1}$ oznacza się odległość pomiędzy tym punktem a lewym ogniskiem, natomiast przez ${\displaystyle r_{2}$ odległość pomiędzy punktem ${\displaystyle P}$ a prawym ogniskiem. Wtedy mają miejsce następujące związki:

• dla prawej gałęzi: ${\displaystyle r_{1}=a+ex,\ \ r_{2}=-a+ex,}$
• dla lewej gałęzi: ${\displaystyle r_{1}=-a-ex,\ \ r_{2}=a-ex.}$

Niech ${\displaystyle d_{1}$ będzie odległością ustalonego punktu ${\displaystyle P}$ od lewej kierownicy, a ${\displaystyle d_{2},}$ odpowiednio – od prawej. Wówczas:

${\displaystyle {\frac {r_{1}{d_{1}={\frac {r_{2}{d_{2}=e.}$

Hiperbola zawsze ma dwie asymptoty; przy powyższym równaniu hiperboli równania asymptot to^[1]:

${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}x.}$

Kierownicami hiperboli nazywa się proste wyrażone równaniami

${\displaystyle x=\pm {\frac {a}{e}=\pm {\frac {a^{2}{c}.}$

Odcinek, który przechodzi przez środek hiperboli, a jego końce na niej leżą nazywany jest średnicą hiperboli.

Styczna w punkcie ${\displaystyle Q=(p,q)}$ hiperboli spełnia równanie

${\displaystyle {\frac {px}{a^{2}-{\frac {qy}{b^{2}=1.}$

Hiperbolę o równaniu

${\displaystyle -{\frac {x^{2}{a^{2}+{\frac {y^{2}{b^{2}=1}$

nazywa się hiperbolą sprzężoną do hiperboli wyjściowej, o równaniu podanym wyżej^[1]. Hiperbole wzajemnie sprzężona mają wspólne asymptoty o równaniach podanych wyżej.

• radionawigacja
• twierdzenie Pascala

• Kazimierz Chomicz, Dowód i zastosowania własności hiperboli prostokątnych, deltami.edu.pl [dostęp 2024-11-07] – praca nagrodzona brązowym medalem w 46. Konkursie Prac Uczniowskich z Matematyki, organizowanym przez „miesięcznik „Delta” i Polskie Towarzystwo Matematyczne.
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hyperbola, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Hyperbola (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].