Serie harmónica

En matemáticas, a serie harmónica é a serie infinita formada pola suma de todas as fraccións unitarias positivas:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}=1+{\frac {1}{2}+{\frac {1}{3}+{\frac {1}{4}+{\frac {1}{5}+\cdots .}$

Os primeiro ${\displaystyle n}$ os termos da serie suman aproximadamente ${\displaystyle \ln n+\gamma }$, onde ${\displaystyle \ln }$ é o logaritmo natural e ${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$ é a constante de Euler-Mascheroni. Como o logaritmo ten valores arbitrariamente grandes, a serie harmónica non ten un límite finito: é unha serie diverxente. A súa diverxencia foi probada no século XIV por Nicole Oresme utilizando un precursor da proba de condensación de Cauchy para a converxencia de series infinitas. Tamén se pode demostrar que diverxe comparando a suma cunha integral, segundo a proba de converxencia da integral.

A serie harmónica é a serie infinita

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}=1+{\frac {1}{2}+{\frac {1}{3}+{\frac {1}{4}+{\frac {1}{5}+\cdots }$na que os termos son todas as fraccións unitarias positivas. É unha serie diverxente: a medida que se inclúen máis termos da serie nas sumas parciais da serie, os valores destas sumas parciais medran arbitrariamente, máis aló de calquera límite finito. Debido a que é unha serie diverxente, debería interpretarse como unha suma formal, unha expresión matemática abstracta que combina as fraccións unitarias, máis que como algo que se pode avaliar a un valor numérico. Hai moitas probas diferentes da diverxencia da serie harmónica, analizadas nun artigo de 2006 por SJ Kifowit e TA Stamps.^[1] Dúas das ^{[2] [1]} máis coñecidos están listados a continuación.

Unha forma de probar a diverxencia é comparar a serie harmónica con outra serie diverxente, onde cada denominador é substituído pola seguinte potencia de dous:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}1&+{\frac {1}{2}&&+{\frac {1}{3}&&+{\frac {1}{4}&&+{\frac {1}{5}&&+{\frac {1}{6}&&+{\frac {1}{7}&&+{\frac {1}{8}&&+{\frac {1}{9}&&+\cdots \\[5pt]{}\geq 1&+{\frac {1}{2}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4} }&&+{\frac {1}{4}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }&&+{\frac {1}{8}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16} }&&+\cdots \\[5pt]\end{alignedat}$A agrupación de termos iguais mostra que a segunda serie diverxe (porque é unha suma infinita de cantidades 1/2):

${\displaystyle {\begin{aligned}&1+\left({\frac {1}{2}\right)+\left({\frac {1}{4}+{\frac {1}{4}\right)+\left({\frac {1}{8}+{\frac {1}{8}+{\frac {1}{8}+{\frac {1}{8}\right)+\left({\frac {1}{16}+\cdots +{\frac {1}{16}\right)+\cdots \\[5pt]{}={}&1+{\frac {1}{2}+{\frac {1}{2}+{\frac {1}{2}+{\frac {1}{2}+\cdots .\end{aligned}$Debido a que cada termo da serie harmónica é maior ou igual ao termo correspondente da segunda serie (e os termos son todos positivos), e dado que a segunda serie diverxe, dedúcese (polo test de comparación) que a serie harmónica tamén diverxe. O mesmo argumento demostra con máis forza que, para todo enteiro positivo ${\displaystyle k}$,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}{\frac {1}{n}\geq 1+{\frac {k}{2}$Esta é a proba orixinal dada por Nicole Oresme en torno a 1350.^[1] A proba de condensación de Cauchy é unha xeneralización deste argumento.^[3]

É posíbel demostrar que a serie harmónica diverxe comparando a súa suma cunha integral impropia . Concretamente, considere a disposición dos rectángulos que se mostra na figura da dereita. Cada rectángulo ten 1 unidade de ancho e ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}$ unidades altas, polo que se a serie harmónica converxe, a área total dos rectángulos sería a suma das series harmónicas. A curva ${\displaystyle y={\tfrac {1}{x}$ permanece totalmente por debaixo do límite superior dos rectángulos, polo que a área baixo a curva (no rango de ${\displaystyle x}$ do un ao infinito que está cuberto por rectángulos) sería menor que a área de unión dos rectángulos. Non obstante, a área baixo a curva vén dada por unha integral impropia diverxente,

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}\,dx=\ln(x)]_{1}^{\infty }=\infty .}$Como esta integral non converxe, a suma tampouco non pode converxer. ^[1]

Engadindo os primeiro ${\displaystyle n}$ termos da serie harmónica produce unha suma parcial, chamada número harmónico e denotado como {Nowrap|${\displaystyle H_{n}$:^[4]

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}.}$

Valor de n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Valor aprox. de ${\displaystyle H_{n}$	1	1,5	1,8	2,1	2,3	2,5	2,6	2,7	2,8	2,9	3,0	3,1	3,2	3,25	3,32	3,38	3,44	3,49	3,55	3,60

De feito, a serie harmónica diverxe, as súas sumas parciais tenden cara a +∞.

Valor de n	10	${\displaystyle 10^{2}$	${\displaystyle 10^{3}$	${\displaystyle 10^{4}$	${\displaystyle 10^{5}$	${\displaystyle 10^{6}$	${\displaystyle 10^{7}$	${\displaystyle 10^{8}$	${\displaystyle 10^{9}$
Valor aprox. de ${\displaystyle H_{n}$	2,9	5,2	7,5	9,8	12,1	14,4	16,7	19,0	21,3

Estes números medran moi lentamente, cun crecemento logarítmico, como se pode ver na proba da integral.^[5] Máis precisamente, pola fórmula de Euler-Maclaurin,

${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}-\varepsilon _{n}$ onde ${\displaystyle \gamma \approx 0.5772}$ é a constante de Euler-Mascheroni e ${\displaystyle 0\leq \varepsilon _{n}\leq 1/8n^{2}$ que se achega a 0 cando ${\displaystyle n}$ vai ao infinito.

A función digamma defínese como a derivada logarítmica da función gamma

${\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}\ln {\big (}\Gamma (x){\big )}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}.}$Así como a función gamma proporciona unha interpolación continua dos factoriais, a función digamma proporciona unha interpolación continua dos números harmónicos, no sentido de que ${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$.^[6] Esta ecuación pódese usar para estender a definición a números harmónicos con índices racionais.^[7]

A serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}{n}=1-{\frac {1}{2}+{\frac {1}{3}-{\frac {1}{4}+{\frac {1}{5}-\cdots }$coñécese como serie harmónica alternada. É condicionalmente converxente polo test de serie alternada, pero non é absolutamente converxente. A súa suma é o logaritmo neperiano de 2.^[8]

A expansión asintótica da serie comeza como

${\displaystyle {\frac {1}{1}-{\frac {1}{2}+\cdots +{\frac {1}{2n-1}-{\frac {1}{2n}=H_{2n}-H_{n}=\ln 2-{\frac {1}{4n}+O(n^{-2}).}$Isto resulta da igualdade ${\textstyle H_{n}=2\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2k}$ e a fórmula de Euler-Maclaurin.

A función zeta de Riemann defínese para ${\displaystyle x>1}$ real pola serie converxente

${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}={\frac {1}{1^{x}+{\frac {1}{2^{x}+{\frac {1}{3^{x}+\cdots ,}$que para ${\displaystyle x=1}$ sería a serie harmónica. Pódese estender mediante o prolongamento analítico a unha función holomorfa en todos os números complexos agás ${\displaystyle x=1}$, onde a función estendida ten un polo simple. Outros valores importantes da función zeta inclúen ${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$, que é a solución ao problema de Basilea, a constante de Apéry ${\displaystyle \zeta (3)}$, que Roger Apéry demostrou que é un número irracional, e a "liña crítica" dos números complexos con parte real ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}$, conxecturado pola hipótese de Riemann como os únicos valores distintos dos enteiros negativos onde a función pode ser cero.^[9]

• Hadley, John; Singmaster, David (March 1992). "Problems to sharpen the young: An annotated translation of Propositiones ad acuendos juvenes". The Mathematical Gazette 76 (475): 102–126. JSTOR 3620384. doi:10.2307/3620384.  ver problema 52: De homine patrefamilias – A lord of the manor, pp. 124–125.

• Baillie, Robert (May 1979). "Sums of reciprocals of integers missing a given digit". The American Mathematical Monthly 86 (5): 372–374. JSTOR 2321096. doi:10.1080/00029890.1979.11994810. 

• Bettin, Sandro; Molteni, Giuseppe; Sanna, Carlo (2018). "Small values of signed harmonic sums". Comptes Rendus Mathématique 356 (11–12): 1062–1074. MR 3907571. arXiv:1806.05402. doi:10.1016/j.crma.2018.11.007. hdl:2434/634047. 

• Boas, R. P. Jr.; Wrench, J. W. Jr. (1971). "Partial sums of the harmonic series". The American Mathematical Monthly 78 (8): 864–870. JSTOR 2316476. MR 289994. doi:10.1080/00029890.1971.11992881. 

• Bombieri, E. (2010). "The classical theory of zeta and ${\displaystyle L}$-functions". Milan Journal of Mathematics 78 (1): 11–59. MR 2684771. doi:10.1007/s00032-010-0121-8.  Carácter borrado en |title= na posición 34 (Axuda)

• Bressoud, David M. (2007). A Radical Approach to Real Analysis. Classroom Resource Materials Series (2nd ed.). Washington, DC: Mathematical Association of America. pp. 137–138. ISBN 978-0-88385-747-2. MR 2284828. 

• Derbyshire, John (2003). Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. Washington, DC: Joseph Henry Press. p. 10. ISBN 0-309-08549-7. MR 1968857. 

• Dunham, William (January 1987). "The Bernoullis and the harmonic series". The College Mathematics Journal 18 (1): 18–23. JSTOR 2686312. doi:10.1080/07468342.1987.11973001. 

• Euler, Leonhard (1737). "Variae observationes circa series infinitas" [Various observations concerning infinite series]. Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (en latín) 9: 160–188. 

• Freniche, Francisco J. (2010). "On Riemann's rearrangement theorem for the alternating harmonic series" (PDF). The American Mathematical Monthly 117 (5): 442–448. JSTOR 10.4169/000298910x485969. MR 2663251. doi:10.4169/000298910X485969. 

• Frieze, Alan; Karoński, Michał (2016). "4.1 Connectivity". Introduction to Random Graphs. Cambridge University Press, Cambridge. pp. 64–68. ISBN 978-1-107-11850-8. MR 3675279. doi:10.1017/CBO9781316339831. 

• Gale, David (May 1970). "The jeep once more or jeeper by the dozen". The American Mathematical Monthly 77 (5): 493–501. JSTOR 2317382. doi:10.1080/00029890.1970.11992525. 

• Gerke, Oke (April 2013). "How much is it going to cost me to complete a collection of football trading cards?". Teaching Statistics 35 (2): 89–93. doi:10.1111/test.12005. 

• Graham, Ronald; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1989). "6.3 Harmonic numbers". Concrete Mathematics (2e ed.). Addison-Wesley. pp. 272–278. ISBN 978-0-201-55802-9. 

• Havil, Julian (2003). "Chapter 2: The harmonic series". Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton University Press. pp. 21–25. ISBN 978-0-691-14133-6. 

• Hersey, George L. (2001). Architecture and Geometry in the Age of the Baroque. University of Chicago Press. pp. 11–12, 37–51. ISBN 978-0-226-32783-9. 

• Isaac, Richard (1995). "8.4 The coupon collector's problem solved". The Pleasures of Probability. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. pp. 80–82. ISBN 0-387-94415-X. MR 1329545. doi:10.1007/978-1-4612-0819-8. 

• Bernoulli, Jacob (1689). Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis earumque summa finita [Arithmetical propositions about infinite series and their finite sums]. Basel: J. Conrad. 

• Bernoulli, Jacob (1713). Ars conjectandi, opus posthumum. Accedit Tractatus de seriebus infinitis [Theory of inference, posthumous work. With the Treatise on infinite series…]. Basel: Thurneysen. 
  From p. 250, prop. 16: "XVI. Summa serei infinita harmonicè progressionalium,

• Bernoulli, Johann (1742). "Corollary III of De seriebus varia". Opera Omnia. Lausanne & Basel: Marc-Michel Bousquet & Co. vol. 4, p. 8.  proba de Johann Bernoulli tamén por contradición.

• Kifowit, Steven J.; Stamps, Terra A. (Spring 2006). "The harmonic series diverges again and again" (PDF). AMATYC Review (American Mathematical Association of Two-Year Colleges) 27 (2): 31–43.  See also unpublished addendum, "More proofs of divergence of the harmonic series" por Kifowit.

• Knuth, Donald E. (1968). "1.2.7 Harmonic numbers". The Art of Computer Programming, Volume I: Fundamental Algorithms (1st ed.). Addison-Wesley. pp. 73–78. 

• Kullman, David E. (May 2001). "What's harmonic about the harmonic series?". The College Mathematics Journal 32 (3): 201–203. JSTOR 2687471. doi:10.2307/2687471. </ref>

• Luko, Stephen N. (March 2009). "The "coupon collector's problem" and quality control". Quality Engineering 21 (2): 168–181. doi:10.1080/08982110802642555. 

• Maunsell, F. G. (October 1938). "A problem in cartophily". The Mathematical Gazette 22 (251): 328–331. JSTOR 3607889. doi:10.2307/3607889. 

• Mengoli, Pietro (1650). "Praefatio [Preface]". Novae quadraturae arithmeticae, seu De additione fractionum [New arithmetic quadrature (i.e., integration), or On the addition of fractions]. Bologna: Giacomo Monti.  A proba de Mengoli é por contradición

• Oresme, Nicole (c. 1360). Quaestiones super Geometriam Euclidis [Questions concerning Euclid's Geometry]. 

• Osler, Thomas J. (November 2012). "96.53 Partial sums of series that cannot be an integer". The Mathematical Gazette 96 (537): 515–519. JSTOR 24496876. doi:10.1017/S0025557200005167.  ver en particular Teorema 1, p. 516.

• Paterson, Mike; Peres, Yuval; Thorup, Mikkel; Winkler, Peter; Zwick, Uri (2009). "Maximum overhang". The American Mathematical Monthly 116 (9): 763–787. MR 2572086. doi:10.4169/000298909X474855. 

• Parker, Matt (February 12, 2022). "The coupon collector's problem (with Geoff Marshall)". Stand-up maths. YouTube. 

• Pollack, Paul (2015). "Euler and the partial sums of the prime harmonic series". Elemente der Mathematik 70 (1): 13–20. MR 3300350. doi:10.4171/EM/268. 

• Rice, Adrian (2011). "The harmonic series: A primer". En Jardine, Dick; Shell-Gellasch, Amy. Mathematical Time Capsules: Historical Modules for the Mathematics Classroom. MAA Notes 77. Washington, DC: Mathematical Association of America. pp. 269–276. ISBN 978-0-88385-984-1. 

• Ross, Bertram (1978). "The psi function". Mathematics Magazine 51 (3): 176–179. JSTOR 2689999. MR 1572267. doi:10.1080/0025570X.1978.11976704. 

• Roy, Ranjan (December 2007). "Review of A Radical Approach to Real Analysis by David M. Bressoud". SIAM Review 49 (4): 717–719. JSTOR 20454048. One might point out that Cauchy's condensation test is merely the extension of Oresme's argument for the divergence of the harmonic series 

• Rubinstein-Salzedo, Simon (2017). "Could Euler have conjectured the prime number theorem?". Mathematics Magazine 90 (5): 355–359. JSTOR 10.4169/math.mag.90.5.355. MR 3738242. arXiv:1701.04718. doi:10.4169/math.mag.90.5.355. 

• Schmelzer, Thomas; Baillie, Robert (June 2008). "Summing a curious, slowly convergent series". The American Mathematical Monthly 115 (6): 525–540. JSTOR 27642532. doi:10.1080/00029890.2008.11920559. 

• Schmuland, Byron (May 2003). "Random harmonic series" (PDF). The American Mathematical Monthly 110 (5): 407–416. JSTOR 3647827. doi:10.2307/3647827. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2011-06-08. Consultado o 2006-08-07. 

• Sharp, R. T. (1954). "Problem 52: Overhanging dominoes" (PDF). Pi Mu Epsilon Journal 1 (10): 411–412. 

• Stillwell, John (2010). Mathematics and its History. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.). New York: Springer. p. 182. ISBN 978-1-4419-6052-8. MR 2667826. doi:10.1007/978-1-4419-6053-5. 

• Tsang, Kai-Man (2010). "Recent progress on the Dirichlet divisor problem and the mean square of the Riemann zeta-function". Science China 53 (9): 2561–2572. Bibcode:2010ScChA..53.2561T. MR 2718848. doi:10.1007/s11425-010-4068-6. hdl:10722/129254. 

• R. P. Boas, Jr.; Modelo:Lien (1971). "Partial sums of the harmonic series" 78 (8). The American Mathematical Monthly: 864–870. JSTOR 2316476. 
• Paul Erdős; Ivan Niven (1945). "On certain variations of the harmonic series" (PDF) 51. Bull. Amer. Math. Soc.: 433-436. 
• Paul Erdős; Ivan Niven (1946). "Some properties of partial sums of the harmonic series" (PDF) 52. Bull. Amer. Math. Soc.: 248-251. 

• Serie diverxente.
• Función zeta de Riemann.
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯.

• Weisstein, Eric W. "Harmonic Series". MathWorld.