Egyenletes eloszlás

A valószínűségszámításban egy X folytonos valószínűségi változót az [a,b] intervallumon egyenletes eloszlásúnak nevezünk, ha sűrűségfüggvénye:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}&\mathrm {ha} \ a\leq x\leq b,\\[8pt]0&\mathrm {ha} \ x<a\ \mathrm {vagy} \ x>b\end{cases}$

A véletlengenerátorokat úgy tervezik, hogy egy adott intervallumon minél inkább megközelítsék az egyenletes eloszlást.

Beszélnek diszkrét egyenletes eloszlásról is. Ilyen például a szabályos dobókockával dobott számok eloszlása.

Eloszlásfüggvénye

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&\mathrm {ha} \ x<a,\\{\frac {x-a}{b-a}&\mathrm {ha} \ a\leq x\leq b,\\1&\mathrm {ha} \ x>b\\\end{cases}$

Karakterisztikus függvénye

${\displaystyle \varphi (t)={\frac {e^{it{\frac {a+b}{2}\sin {t{\frac {b-a}{2}{t{\frac {b-a}{2}$

• Szimmetrikus az (a+b)/2 pontra.
• Az [a,b] intervallum minden pontja maximumhely.
• A konvolúció kisimítja az eloszlásfüggvényt.
  • Két ugyanolyan paraméterezésű egyenletes eloszlású valószínűségi változó konvolúciója háztetőfüggvényt ad.
  • Három ugyanolyan paraméterezésű egyenletes eloszlású függvény konvolúciója már folytonosan differenciálható.

Várható értéke

${\displaystyle \mathbf {E} (X)={\frac {a+b}{2}$

Szórása

${\displaystyle \mathbf {D} (X)={\frac {b-a}{\sqrt {12}$

Momentumai

A páratlan centrális momentumai nullával egyenlőek, a párosak

${\displaystyle \mathbf {E} (X-\mathbf {E} (X))^{2r}=\left({\frac {b-a}{2}\right)^{2r}(2r+1)^{-1}$

Ferdesége

${\displaystyle \beta _{1}(X)=0\,}$

Lapultsága

${\displaystyle \beta _{2}(X)=-1,2\,}$

Be lehet vezetni diszkrét egyenletes eloszlást is. Ekkor a felvehető értékek halmaza nem egy intervallum, hanem különálló számok véges halmaza, amik mind ugyanolyan valószínűséggel adódnak. Ilyen például a szabályos kockadobás eredménye. Az értékek halmaza {1,2,3,4,5,6}, és mindegyiknek 1/6 a valószínűsége. Ha a kocka nem szabályos, és valamelyik számnak nagyobb a valószínűsége, mint a többinek, akkor a dobás eredménye nem lesz egyenletes eloszlású.

Az egydimenziós esethez hasonlóan definiálható a magasabb dimenziós egyenletes eloszlás.

Legyen G véges mérhető halmaz. Akkor mondjuk, hogy X egyenletes eloszlású valószínűségi változó G-n, ha G bármely mérhető részhalmazára annak mértékével arányos valószínűséggel esik.

Jelölje G mértékét (területét, térfogatát) λ(G)! Ekkor X sűrűségfüggvénye:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\lambda (G)}&\mathrm {ha} \ x\in G,\\0&\mathrm {egy{\acute {e}bk{\acute {e}nt} \\\end{cases}$

• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen. [1]
• Diszkrét egyenletes eloszlás^{[halott link]}

Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!