Representação de uma pirâmide quadrangular formada por esferas.
Um número piramidal quadrado corresponde ao número de esferas que podem ser alocadas se forem dispostas de forma a formar uma pirâmide quadrangular [ 1] . Se
n
{\displaystyle n}
é o número de esferas que formam o lado da base da pirâmide, então o número piramidal associado é dado por:
∑
k
=
1
n
k
2
=
(
2
n
+
1
)
n
(
n
+
1
)
6
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {(2n+1)n(n+1)}{6}
Por exemplo, se uma pirâmide quadrangular for formada por
4
×
4
=
16
{\displaystyle 4\times 4=16}
esferas na base, então ela terá um total de 30 esferas, o que corresponde a:
∑
k
=
1
4
k
2
=
1
2
+
2
2
+
3
2
+
4
2
=
(
2
⋅
4
+
1
)
⋅
4
⋅
(
4
+
1
)
6
=
30
{\displaystyle \sum _{k=1}^{4}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}={\frac {(2\cdot 4+1)\cdot 4\cdot (4+1)}{6}=30}
.
Demostração
Mostraremos que[ 1] [ 2] :
∑
k
=
1
n
k
2
=
(
2
n
+
1
)
n
(
n
+
1
)
6
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {(2n+1)n(n+1)}{6}
.
Primeiramente, observamos que a diferença entre dois termos consecutivos deste somatório fornece:
k
2
−
(
k
−
1
)
2
=
2
k
−
1
{\displaystyle k^{2}-(k-1)^{2}=2k-1}
O que mostra que a diferença entre os quadrados de dois números naturais consecutivos é um número ímpar . Além disso, por indução na equação anterior, vemos que o quadrado de um número natural pode ser escrito como a soma de números ímpares, mais precisamente:
k
2
=
∑
i
=
1
k
(
2
i
−
1
)
{\displaystyle k^{2}=\sum _{i=1}^{k}(2i-1)}
.
Consideremos, então, a seguinte tabela representativa:
1
2
=
1
2
2
=
1
+
3
3
2
=
1
+
3
+
5
4
2
=
1
+
3
+
5
+
7
5
2
=
1
+
3
+
5
+
7
+
9
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
n
2
=
1
+
3
+
5
+
7
+
9
+
⋯
+
2
n
−
1
{\displaystyle {\begin{array}{llllllllllllllllll}1^{2}&=&1&&&&&&&&&&&&&\\2^{2}&=&1&+&3&&&&&&&&&&&\\3^{2}&=&1&+&3&+&5&&&&&&&&&\\4^{2}&=&1&+&3&+&5&+&7&&&&&&&\\5^{2}&=&1&+&3&+&5&+&7&+&9&&&&&\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&&&\\n^{2}&=&1&+&3&+&5&+&7&+&9&+&\cdots &+&2n-1&\\\end{array}
Notemos que a primeira coluna após o símbolo de igualdade soma
n
{\displaystyle n}
, a segunda coluna soma
3
(
n
−
1
)
{\displaystyle 3(n-1)}
, a terceira soma
5
(
n
−
2
)
{\displaystyle 5(n-2)}
e assim, sucessivamente, até a última coluna que soma
(
2
n
−
1
)
⋅
1
{\displaystyle (2n-1)\cdot 1}
. Logo, vemos que:
∑
k
=
1
n
k
2
=
∑
k
=
1
n
(
2
k
−
1
)
(
n
−
(
k
−
1
)
)
=
∑
k
=
1
n
2
k
(
n
+
3
2
)
−
2
k
2
−
(
n
+
1
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)(n-(k-1))=\sum _{k=1}^{n}2k\left(n+{\frac {3}{2}\right)-2k^{2}-(n+1)}
.
Agora, pelas propriedades do somatório, temos:
3
∑
k
=
1
n
k
2
=
2
(
n
+
3
2
)
∑
k
=
1
n
k
−
(
n
+
1
)
∑
k
=
1
n
1
{\displaystyle 3\sum _{k=1}^{n}k^{2}=2\left(n+{\frac {3}{2}\right)\sum _{k=1}^{n}k-(n+1)\sum _{k=1}^{n}1}
Ora, o somatório de
∑
k
=
1
n
k
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k}
é uma progressão aritmética de razão 1, i.e.
∑
k
=
1
n
k
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}
. Logo:
3
∑
k
=
1
n
k
2
=
(
n
+
3
2
)
n
(
n
+
1
)
−
n
(
n
+
1
)
⇒
∑
k
=
1
n
k
2
=
(
2
n
+
1
)
n
(
n
+
1
)
6
{\displaystyle 3\sum _{k=1}^{n}k^{2}=\left(n+{\frac {3}{2}\right)n\left(n+1\right)-n\left(n+1\right)\Rightarrow \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {(2n+1)n(n+1)}{6}
.
Referências
Potências e números relacionadosDa forma a × 2b ± 1 Outros números polinomiais
Carol
Hilbert
Idôneo
Kynea
Leyland
Números da sorte de Euler
Repunit
Números definidos recursivamente Possuindo um conjunto específico de outros números Expressáveis via somas específicas
Não-hipotenusa
Polido
Prático
Primário pseudoperfeito
Ulam
Wolstenholme
Gerado via uma teoria dos crivos Relacionado a codificação Números figurados
2D
3D
centrado
Tetraédrico centrado
Cúbico centrado
Octaédrico centrado
Dodecaédrico centrado
Icosaédrico centrado
Não-centrado
Tetraédrico
Octaédrico
Dodecaédrico
Icosaédrico
Stella octangula
Piramidal
4D
centrado
Pentácoro centrado
Triangular quadrado
Não-centrado
Pseudoprimos
Número de Carmichael
Pseudoprimo de Catalan
Pseudoprimo elíptico
Pseudoprimo de Euler
Pseudoprimo de Euler–Jacobi
Pseudoprimo de Fermat
Pseudoprimo de Frobenius
Pseudoprimo de Lucas
Pseudoprimo de Somer–Lucas
Pseudoprimo forte
Números combinatoriais
Bell
Bolo
Catalan
Dedekind
Delannoy
Euler
Fuss–Catalan
Número poligonal central
Lobb
Motzkin
Narayana
Ordenado de Bell
Schröder
Schröder–Hipparchus
Funções aritméticas
Por propriedades de σ(n )
Abundante
Quase perfeito
Aritmético
Colossalmente abundante
Descartes
Hemiperfeito
Altamente abundante
Altamente composto
Hyperperfeito
Multiplamente perfeito
Perfeito
Número prático
Primitivo abundante
Quase perfeito
Refactorável
Sublime
Superabundante
Superior altamente composto
Superperfeito
Por propriedades de Ω(n ) Por propriedades de φ(n )
Altamente cototiente
Altamente totiente
Não-cototiente
Não-totiente
Perfeito totiente
Esparsamente totiente
Por propriedades de s(n )
Dividindo um quociente Outros números relacionados com fator primo ou divisor
Blum
Erdős–Woods
Friendly
Frugal
Giuga
Harmônico divisor
Lucas–Carmichael
Oblongo
Regular
Rugoso
Liso
Sociável
Esfênico
Størmer
Super-Poulet
Zeisel
Matemática recreativa
Números dependentes de base
Sequência de Aronson
Ban
Número panqueca