Nefroida

Nefroida je ravninska krivulja, ki ima obliko ledvic Ime krivulje pomeni oblikovana kot ledvice (primerjaj tudi z nefrologija).

Nefroida je epicikloida s k = 2.

parametrična enačba nefroide je

${\displaystyle x=a(3\cos t-\cos 3t),\quad y=a(3\sin t-\sin 3t).}$

Vrhovi krivulje ležijo na osi-x. Kadar pa ležijo vrhovi krivulja na osi-y je parametrična oblika enačbe nefroide

${\displaystyle x=a(3\cos t+\cos 3t),\quad y=a(3\sin t+\sin 3t).}$

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba nefroide ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}$.

Dolžina loka nefroide je enaka

${\displaystyle l=24a}$.

Ploščina pa se izračuna po obrazcu

${\displaystyle P=12\pi a^{2}.}$

Polmer ukrivljenosti se dobi po obrazcu

${\displaystyle \rho =|3a\sin t|.}$

Nefroido lahko imamo za kavstiko krožnice za vzporedne žarke. To lahko tudi povemo, da odbiti vzporedni žarki tvorijo ovojnico nefroide.

Nefroida se lahko kreira kot ovojnica krožnic. To naredimo na naslednji način: pričnemo z osnovno krožnico (modra). Nato izberemo točko na tej krožnici (rdeča točka). S to točko kot središčem, narišemo krožnico (rdeče) tako, da je tangenta na os-y. Če narišemo večje število krožnic, dobimo nefroido.

Nefroido lahko kreiramo tudi kot ovojnico premic. Postopek je naslednji: Pričnemo s krožnico, ki ima polmer ${\displaystyle a\,}$. Za različne vrednosti ${\displaystyle t\,}$ povežemo točke, ki so na ${\displaystyle t\,}$ in ${\displaystyle 3t\,}$ stopinjah okoli po krožnici (to pomeni, da povežemo točke (${\displaystyle a\cos t,a\sin t)}$ s točkami (${\displaystyle a\cos 3t,a\sin 3t)}$. Premice, ki jih dobimo, tvorijo ovojnico nefroide.

Nefroida je tudi epicikloida z dvema vrhovoma (konicama).

Evoluta nefroide je druga za polovico manjša nefroida, ki pa je zavrtena za 90°. Originalna nefroida se vidi kot, da je ovojnica pritisnjenih krožnic

Ker je evoluta nefroide druga nefroida, je tudi involuta nefroide druga nefroida.

Inverzna krivulja glede na originalno nefroido (rdeče) je krivulja, ki je ovojnica krožnic (črno).

V kartezičnih koordinatah je glede na krožnico c polmerom ${\displaystyle a\,}$ je v kartezičnih koordinatah enačba inverzne krivulje

${\displaystyle (a^{2}-4(x^{2}+y^{2}))^{3}=108a^{2}x^{2}(x^{2}+y^{2}).}$

• seznam krivulj

• Nefroida na MathWorld (angleško)
• Nefroida na Mactutor of Mathematical Archive Arhivirano 2010-12-26 na Wayback Machine. (angleško)
• Nefroida na Xah Lee Web (angleško)
• Nefroida v National Curve of Bank (angleško)