Параллелограмм
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC.svg/331px-%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC.svg.png)
Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον ← παράλληλος «параллельный» + γραμμή «линия») — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых[1]. См. также другие варианты определения .
Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб[1].
Свойства
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/%D0%A1%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0.svg/220px-%D0%A1%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D0%B3%D0%BB%D1%8B_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0.svg/220px-%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D0%B3%D0%BB%D1%8B_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0.svg.png)
- Противолежащие стороны параллелограмма равны.
- Противолежащие углы параллелограмма равны.
- Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
- Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:
- .
- Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
- Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
- Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
- Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть
- — длина стороны ,
- — длина стороны ,
- и — длины диагоналей; тогда
- Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
- Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.
Признаки параллелограмма
Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):
- У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: .
- Все противоположные углы попарно равны: .
- У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: .
- Все противоположные стороны попарно параллельны: .
- Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: .
- Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру.
- Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: .
Площадь параллелограмма
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/ParallelogramArea.svg/150px-ParallelogramArea.svg.png)
- Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
- Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:
- , где — сторона, — высота, проведённая к этой стороне.
- Площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон и синуса угла между ними:
- где и — смежные стороны, — угол между сторонами и .
- Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны и длину любой из диагоналей по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников[3]:
- где
См. также
Примечания
- ↑ 1 2 3 Справочник по элементарной математике, 2006, с. 332—333.
- ↑ 1 2 MathWorld.
- ↑ Геометрия, 8 класс. Урок 14. Формула Герона
Литература
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Parallelogram (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.